对顶角、余角和补角ppt课件课堂实录

对顶角、余角和补角

课时安排

教材版本

执教

一、教学目标

【知识与技能】

在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。

【能力目标】

（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。

（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。

【情感态度与价值观】

在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。

二、教学重难点

了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。学生探索等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。

45分钟

北师大

蔡壮云

授课对象

章节

七年级学生

第二章第1节

三、教学过程

一、情境导入

如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？

二、合作探究

探究点一：对顶角及其性质

【类型一】

对顶角的概念

下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(

) 1

解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.

方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．

【类型二】

直接运用对顶角的性质求角度

如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．

解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．

解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．

方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．

探究点二：补角和余角

【类型一】

利用补角和余角计算求值

已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．

解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．

解：∵∠A与∠B互余，

∴∠A＋∠B＝90°

.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，

∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，

∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B的度数为15°. 方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．

【类型二】

补角、余角和角平分线的综合计算

如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．

解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB

1＋∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝2∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．

解：∵∠AOB与∠COM互补，

∴∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°

.∵∠COB＝90°，

∴∠AOB＋∠BOM＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线，

11∴∠BOM＝2∠AOB，即∠AOB＋2∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，

∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°. 11∵ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，

22∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°. 方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．

【类型三】

补角和余角的性质

如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

(1)如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由；

(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；

(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．

解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；(2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．

解：(1)CD是∠ECB的角平分线．

理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，

∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，

∴∠DCB＝90°－45°＝45°，

∴∠ECD＝∠DCB，

∴CD是∠ECB的角平分线；

(2)∠ACE＝∠DCB. 理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，

∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，

∴∠ACE＝∠DCB；

(3)∠ECD＋∠ACB＝180°. 理由如下：

∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°. 方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．

小结：

数量关系

1 2 互余

对应图形关系

1 2

3 互补

4

3 4 对顶角

性质

四、板书设计

1．对顶角相等；

2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．