平方差公式的应用优质公开课教案

第一章

整式的乘除

5 平方差公式应用（一）

一、学情分析

学生的知识技能基础：学生通过上一节课的学习，已经经历了探索和推导平方差公式的过程，并能运用公式进行简单的计算，同时前面有理数运算、整式运算等基础知识以及基本技能的学习，为本节课的学习奠定了知识技能基础. 学生活动经验基础：学生在前面的学习中，已经经历了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，具有了一定自主探究意识以及与同伴合作交流的能力.前期数形结合思想的渗透，为本节课的探究活动做好了知识、经验准备。

二、教学目标

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算. 2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力. 3.情感与态度：

了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 三、教学重点和难点

重点：会运用平方差公式的几何解释和计算。

难点：利用平方差公式进行简便运算，培养基本运算技能。

四、教学方法

本节课采用多媒体辅助教学：结合PPT，动画演示等进行了辅助讲解。在教学过程中，教师充分尊重学生的主体地位，从学生身边的实例引入课题，激发学生的学习兴趣，采用启发式教学，以问题为驱动，引导学生层层深入，最终证明平方差公式。在此过程中，学生通过独立思考与合作交流，经历平方差公式的推导与证明过程，进一步加深对知识的理解并学以致用。

五、教学过程

基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了五个教学环节：复习旧知、引入新课；创设情境、探究结论；观察思考、拓展延伸；典例分析、巩固提高；当堂达标、自我检测；课堂小结。

第一环节

复习旧知、引入新课

活动内容：

回顾上节课平方差公式：平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 1.

公式的结构特点：

（1）左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差。

（2）注意公式两边的字母特征，左边一定存在相同的项和互为相反数的项，公式右边是相同项的平方减去互为相反项绝对值的平方。

2．应用平方差公式的注意事项：

（1）注意平方差公式的适用范围

（2）字母a、b可以是数，也可以是整式

（3）注意计算过程中的符号和括号

活动目的：上节课直接利用多项式乘以多项式法则，推导得到平方差公式，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备。

第二环节 创设情境、探究结论

活动内容：

b 图1-1 a a b 图1-2

如图1-1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. （1）请表示图1-1中阴影部分的面积

小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

活动目的：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识,避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病. 通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想。

第三环节

观察思考、拓展延伸

活动内容：

（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点

7×9=

11×13=

79×81=

8×8=

12×12=

80×80= （2）从以上过程中，你发现了什么规律？

（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

活动目的：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这个过程包括了符号表示和符号运算，学生通过（1）中各组算式的特点，提出猜想，并且可以利用字母表示出这一猜想（a-1）（a+1）=a2-1，然后利用平方差公式计算得到（a-1）（a+1）=a2-1，从而验证猜想的正确性.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为后面数的简便运算做好知识的铺垫。

第四环节 典例分析、巩固提高

活动内容：

例1 用平方差公式进行计算：

（1）103×97 ；

（2）118×122

巩固练习：

计算：

（1）704×696 ；

（2）9.9 ×10.1

活动目的：运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，让学生体会到，利用公式可以进行一些有关于数的简便运算，目的是进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用．

例2 计算：

（1）a2（a+b）（a-b）+a2b2

；

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

巩固练习：

计算：

11（1）（x+2y）（x-2y）+（x+1)（x-1）；

（2）x（x－1）－(x)(x)

33（3）（21+1）（22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)

活动目的：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用.这一环节是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力.

第五环节 当堂达标、自我检测

活动内容：

计算：

（1）

2001×1999

－20002

（2）（3mn+1）（3mn－1）－8m2n2

111（3）(x2)(x2)－x（x+8）

224（4）（31+1）（32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(3n+1)

活动目的：为学生提供自我检测的机会，及时反馈，查漏补缺.

第六环节 课堂小结、布置作业

活动内容：

1.平方差公式：

1）公示的符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2 ; 2）公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差. 3）公式的几何解释：

a

[来源:学科网]a

b b

图1-4

2．应用平方差公式的注意事项：

（1）注意平方差公式的适用范围

（2）字母a、b可以是数，也可以是整式

（3）注意计算过程中的符号和括号

活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的. 六、教学设计反思

1、本节课虽然算不上课本中的难点，但却是整式一章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算.学生需要熟练掌握公式的适用范围和使用方

法，以提高运算速度.授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节，然后再通过逐层深入的练***方差公式的应用. 2、教学中，教师应该有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测，然后利用符号间的运算验证猜测或解决问题，同时鼓励学生有条理的表达自己的思考过程. 3、符号运算对于数学而言必不可少，培养学生的基本运算技能，是本节课一个重要的目标，因此本设计中适当、分层的提供一些必要的训练，使学生能够准确地进行基本的符号运算，并能说明每一步的算理，培养学生的基本运算能力和条理的表达能力.

4、关注学生从具体问题情境中抽象出数量关系，以及借助情境进行公式推导的过程，关注学生的参与度，及时评价，同时注意评价方式多元化，使每个学生都能在数学学习中，收获成功体验，从而培养学习数学的兴趣和信心.