平方差公式的应用板书设计及意图

平

方

差

公

式

教材分析

《平方差公式》是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）七年级下册的教学内容。教材在上册中安排了《有理数及运算》、《字母表示数》等内容。在本节内容前面又安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化”的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式”奠定了基础。

学生分析

学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。

教学目标

1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。

3、认识平方差公式及其几何背景。

4、在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。

教学重点：体会公式的发现的推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。

课前准备

1、为每位学生准备一张正方形纸片(边长为15cm)。

2、教师准备两张正方形(一大一小)纸板和三块矩形纸板。

3、多媒体课件。

教学流程

一、

创设问题情境，引导学生观察、设想。

教师发给每个学生一张正方形纸片(边长15cm)并用多媒体课件(或用正方形纸板)显示正方形。

师：在一块45的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15的正方形(如图)，请问剩下红色部分的面积有多少平方厘米？

45

30

15

(刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。)

小组讨论：

1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。

2．可以把剩下红色部分切割成几个矩形来计算。

师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？

或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。

师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落(如图)。

(同时也要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，可规定连长为3cm。)

45

30

15

师：刚才我们说过计算面积的方法不止一种，我们现在试着用分割的方法来计算面积。请参照老师的做法，先在你们的纸上画一条虚线，然后把刚才画的小正方形剪下来(或撕去)，就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长方形剪下来，并把小长方形拼到大长方形的一边，刚好又变成一个新的长方形(如图)。

45

45

30

30

15

15

45

15

30

师：若按照我们刚开始的题目要求，现在新的大长方形的长、宽各是多少？它的面积又是多少呢？

(可让学生讨论后回答。) 生：大长方形的长是(45+15)，宽是(45-15)。

长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)。

师：还记得两种方法的列式吗？

生：第一种方法的式子是452-152，

第二种方法的式子是(45+15)×(45-15) 师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关系呢？

生：相等。

(电脑课件演示)452-152

=(45+15)×(45-15) 二、

交流对话，探求新知。

看谁算得快：

(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4) (-m+n)(-m-n) 师：你们能发现什么规律？

(学生议论、讨论，各抒己见。) 师：再想想看，如果今天的题目换成：“在一块边长为厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去为b厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？”我们该怎样列代数式来表示？

生：我们可以用a2-b2来表示剩下的面积。

师：还有没有别的方法？

生：也可以用(a+b)(a-b)来表示剩下的面积。

师：今天我们除了找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从图形中了解到(a+b)(a-b)=a2-b2这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法，你能利用计算多项式乘法的方法，把(a+b)(a-b)的答案计算出来吗？

(找学生在黑板上把过程写出来。) 师：为了节省计算时间，我们把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式来运用，把这个公式称为“平方差公式”。

（电脑演示）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

师：哪一位同学能用语言叙述一下平方差公式？

生：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

三、

运用新知，体验成功。

1、例题。

利用平方差公式计算：

(1)

(5+6x)(5-6x) (2)

(3m-2n)(3m+2n) (3)

(-4x+1)(-4x-1) (4)

(- 1/4 x - y)( - 1/4 x + y) (5)

(ab+8)(ab-8) (6)

(m+n)(m-n)+3n2

解：(1) 原式＝52-(6x)2=25-36x2

(2) 原式＝(3m)2-(2n)2=9m2-4n2

(3) 原式＝(-4x)2-12=16x2-1 (4) 原式＝(- 1/4 x)2-y2=1/16 x2-y2

(5) 原式＝(ab)2-82=a2b2-64 (6) 原式＝m2-n2+3n2=m2+2n2 2、巩固深化，拓展思维。

利用平方差公式计算：

(1)

(a+2)(a-2) (2)

(3a+2b)( 3a-2b) (3)

(-x+1)( -x-1) (4)

(-4k+3)( -4k-3) (5)

(a+b+c)(a+b-c)

四、课堂小结。

1、通过本节课的学习活动，你们认识了什么？

2、什么样的式子才能使用平方差公式？

五、课外作业

1、基础训练（略）。

2、拓展训练：利用平方差公式计算(a+b+c)(a+b-c)。