2.2.2 函数的奇偶性ppt配套的教学设计方案

1.理解函数的奇偶性及其几何意义,会判断函数的奇偶性.

2.了解奇、偶函数图象的对称性.

美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.

问题1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性?

第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形.

问题2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?

(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?

(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

,那么f(x)就叫作偶函数.

奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

,那么f(x)就叫作奇函数.

(2)偶函数的图象关于

对称,奇函数的图象关于

对称.

问题3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0处有定义,能得出什么结论?

函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备

条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于

对称).

若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有f(0)=

,即函数图象必过

.

问题4:奇偶性与单调性有什么联系?

(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有

的单调性.

(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有

的单调性.

1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是

.

2.下列函数是偶函数的是

.

①y=x;

②y=2x2-3;

③y=;

④y=x2,x∈[0,1].

3.函数y=-|x|是

函数.

4.判断下列函数的奇偶性:

(1)yx

41；

(2)f(x)=|x-2|-|x+2|. x2

[来源:Z*xx*k.Com]

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=x+;

(2)f(x)=2-|x|;

(3)f(x)=

利用奇偶性求值或求范围

若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的+;

(4)f(x)=.

x的取值范围是

.

利用奇偶性求解析式

已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的解析式.

(1)判断下列函数的奇偶性.[来源学科网]

①f(x)=x2,x∈[-1,2];

②f(x)=·;

③f(x)=;

④f(x)=·.

(2)画出函数f(x)=的图象,通过图象判断函数的奇偶性.

(1)若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为

.

(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=

.

已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式为

.

1.函数f(x)=x(-1

函数(填奇偶性).

2.对于定义域是R的任意奇函数f(x),f(x)与f(-x)应满足

.

3.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m=

,n=

.

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x).

(2013年·山东卷)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于(

).

A.-2

B.0

C.1

D.2

考题变式(我来改编):

第6课时

函数的奇偶性

知识体系梳理

问题2:(1)f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)

(2)y轴

原点

问题3:原点

0

原点

问题4:(1)相同

(2)相反

基础学习交流

1.②

先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否关于原点或y轴对称,只有②中的图象符合.[来源:Z_xx_k.Com]

2.②

①中是奇函数;②中是偶函数;③④中的定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数.

3.偶

∵f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴函数y=-|x|为偶函数.

4.解:(1)∵函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,设y=f(x)=x4+,又

f(-x)=(-x)4+=x4+=f(x),∴函数为偶函数.

(2)设y=f(x)=|x-2|-|x+2|,

∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),∴函数为奇函数.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0},关于原点对称,

又∵f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x).

∴f(x)为奇函数.

(2)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,

又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),

∴f(x)为偶函数.

(3)∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,

又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(4)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,

∴f(x)是非奇非偶函数.

【小结】判断函数奇偶性的步骤:

(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性.

(2)考虑f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)既等于f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若f(-x)既不等于f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数.

探究二:

【解析】由题意知,函数f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)<0的x的取值范围为-2

【答案】(-2,2)

【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结合思想求解.

探究三:【解析】设x<0,则-x>0,

∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.

又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.

故当x<0时,f(x)=x|x+2|.

【小结】(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里.

(2)转化为已知区间的解析式进行代入.

(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).

思维拓展应用

应用一:(1)①∵它的定义域不关于原点对称,∴函数f(x)为非奇非偶函数.

②∵x-2≥0且2-x≥0,∴x=2,即f(x)的定义域是{2},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.

③函数的定义域是R.

∵f(-x)+f(x)=+

=

==0,

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.

④由得f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,此时f(x)=0,∵f(-x)=f(x)=-f(-x)=0,

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)画出函数f(x)的图象(如图),由图象易知它关于原点对称,因此函数f(x)为奇函数.

应用二:(1)(-3,0)∪(0,3)

(2)-26

(1)(法一)由题意可知,

xf(x)<0⇔或⇔

或⇔或

∴x∈(-3,0)∪(0,3).

(法二)采用数形结合法.

(2)(法一)令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函数,从而g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8,

∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,

∴g(2)=-g(-2)=-18.

∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.

(法二)由已知条件,

得

①+②得f(2)+f(-2)=-16.

又f(-2)=10,∴f(2)=-26.

应用三:f(x)=-x-x4

设x∈(0,+∞),

则-x∈(-∞,0),

∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,

∴f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,

又函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,

∴f(-x)=f(x),

∴当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-x4.

基础智能检测

1.非奇非偶

定义域不关于原点对称.

2.f(x)+f(-x)=0

根据奇函数的定义可得.

3.0

0

易知f(0)==0,∴m=0,[来源:学科网]

又∵f(-x)==-f(x),故n=0.

4.解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.设x<0,则-x>0,

[来源学#科#网]∴f(-x)=x2+2x+3,

又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-2x-3,

∴f(x)=全新视角拓展

A

∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.

思维导图构建

f(-x)=-f(x)

原点

f(-x)=f(x)

y轴