3.4.1 函数与方程主要内容及教案内容

课题：3.4.1 函数的零点

一、教材分析

本节知识是必修一第三章《指数函数、对数函数和幂函数》的第四节内容，本节课是在学生学习了《几个基本初等函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：高考资源网

知识与技能目标：通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系. 过程与方法目标：

体现从特殊到一般的认识规律,通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．培养学生观察

、思考、分析、猜想，验证的能力,体现数型结合的思想。

情感、态度和价值观目标：在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神.高考资源网

教学重点和难点

教学重点：1.了解函数零点的概念

2．准确掌握函数零点与相应方程的根的关系

3．了解函数零点的个数及存在性原理

教学难点：1．了解函数与方程的根关系的应用。

2．探究函数零点的个数及存在性原理

二、教学方法

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

三、教学过程：

一、引例

1．求方程x2x30的根. 2.求函数yx2x3

与x轴交点的坐标. 3.两者之间有何关系？

22【设计意图】：求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象

通过学生熟悉一元二次方程入手，让学生建立数型结合的思想。

二、学生活动

1.学生活动

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2.结论：一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点的横坐标. 3.思考：对于一般地一元二次方程与对应的二次函数，上述结论是否仍然成立？

【设计意图】：通过完成上述活动,让学生从具体到一般函数图像与x轴交点与相应方程根的关系。这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。

三、建构数学

1．一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数y＝ax＋bx＋c的图象之间关系：

22△＝b2－4ac

△＞0 △＝0 △＜0 ax2＋bx＋c＝0的根

bb24acx1,22a

y

x1x2y

b

2a方程无实数根

y

y＝ax2＋bx＋c的图象

x1

O

x2

x

O x1＝x2

x

O

x

bb24acxy＝ax2＋bx＋c的零点

1,22a

x1x2b

2a无零点

2．函数y＝f (x)零点的定义：一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.

四、数学运用

例1.求下列函数的零点: (1) f(x)=2x-3 (2) f(x)3x1 (3) f(x)=x2-2x-1 【设计意图】：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。求（3）的零点时，可以作出其图象，引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点之间是否存在关系，为后面探讨函数零点存在的条件奠定基础。

思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？

【设计意图】：学生结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流。

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3．函数零点存在的条件：函数y＝f (x)在区间[a，b]上不间断，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．

判断：判断下列命题的真假: (1)若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0. (3)若f(a)·f(b)<0,函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点. 【设计意图】：激发学生思考交流。

例2.

判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？

例3.

求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．

【设计意图】:本环节学生独立完成，回答，发现问题立即纠正。

五、要点归纳与方法小结

1．数学知识：函数零点的概念、求法

函数零点的存在性定理

2．思想方法：数形结合，猜想

3．拓展延伸：你能利用本节课所学知识求方程2xx4的近似值吗？

六、作业

1.课本P97－习题3.4.1．1，2，5.

2.函数f(x)ax22x1在区间(0,2)内恰有一个零点，则a的取值范围.

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