2.1.1 函数的概念和图象教学目标设计

直线的倾斜角与斜率、直线方程

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2．掌握确定直线位置的几何要素．

3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．

知识点一

直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．

(2)倾斜角的范围为________．

2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.

1．直线2x＋1＝0的倾斜角为________．

解析：直线2x＋1＝0的斜率不存在，倾斜角为90°.

答案：90°

2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

) A．1 C．1或3 解析：由题意知，答案：A

- 1 -

B．4 D．1或4 4－m＝1，解得m＝1. m＋2

知识点二

直线方程 1．直线方程的五种形式

名称

斜截式

点斜式

两点式

几何条件

纵截距、斜率

过一点、斜率

过两点

方程

____________ ____________

____________

适用条件

与x轴不垂直的直线

与两坐标轴均不垂直的直线

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

所有直线

截距式

纵、横截距

____________

一般式

Ax＋By＋C＝0 (A＋B≠0)

222.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，x＝

，y)，则y＝

，

此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

答案

1．y＝kx＋b

y－y0＝k(x－x0) 2.y－y1x－x1xy＝

＋＝1 y2－y1x2－x1abx1＋x2y1＋y22

2

33．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为(

) 4A．3x＋4y－14＝0 C．4x＋3y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 D．4x－3y＋14＝0 3解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)，即3x＋4y－14＝0. 4答案：A

- 2 -

4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(

) A．1 C．－2或－1 B．－1 D．－2或1 解析：当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，所以在x轴上的截距为＝1. 答案：D 5．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的斜率等于直线x＋3y＝0的斜率的2倍，则这条直线的方程为________．

323解析：由x＋3y＝0，得y＝－x，故所求直线的斜率k＝－，又该直33线过点A(2，－3)，所以这条直线的方程为

2＋aa，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝2＋aa，得a＝－2或ay－(－3)＝－23(x－2)，整理得2x＋3y－4＋33＝0. 3答案：2x＋3y－4＋33＝0

热点一

直线的倾斜角与斜率 【例1】

(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

) A．[0，π) πC.0， 4π3πB.0，∪，π

44ππD.0，∪，π

42(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

【解析】

(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤(2)如图，

π3π或≤θ<π. 44

- 3 -

1－03－0∵kAP＝＝1，kBP＝＝－3，

2－10－1∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

【答案】

(1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)

【总结反思】

(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；

(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率. y2－y1x2－x1

1．若将例题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，

∴kAP＝2－1－0－1＝，

3＝3. kBP＝3－00－－1如图可知，直线l斜率的取值范围为，3. 3

- 4 -

2．若将例题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．

解：

法1：如图所示，kPA＝－2－－1－0＝－1，kPB＝1－－2－0＝1，由图可观察π3π，π. 出：直线l倾斜角α的范围是0，∪44法2：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1.

π3π，π. ∴直线l的倾斜角α的范围是0，∪44【总结反思】

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据ππ斜率求倾斜角的范围时，要分0，与，π两种情况讨论．由正切函数图象22ππ可以看出，当α∈0，时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；22

- 5 -

π，π时，斜率k∈(－∞，0). 当α∈2热点二

直线方程的求法 【例2】

求适合下列条件的直线的方程：

3(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；

5(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

34【解】

(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝.∴cosα＝±，直线的斜率553k＝tanα＝±.又直线在y轴上的截距是－5，

43由斜截式得直线方程为y＝±x－5. 4(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)．

2∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0. 3若a≠0，则设l的方程为＋＝1. 32∵l过点P(3,2)，∴＋＝1. xyaaaa∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα3＝－. 1－tan2α4又直线经过点A(－1，－3)，

3因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

4即3x＋4y＋15＝0. 【总结反思】

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，

- 6 -

用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，当两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. (1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(

) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 (2)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为________. 2解析：(1)当直线过原点时，由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为，故直线52的方程为y＝x，即2x－5y＝0.当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为5xy5k(k≠0)，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为＋＝1，把点(5,2)代入可得k2kk2xy＋＝1，解得k＝6.故直线的方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.故选B. 2k612x－y＋2＝0，(2)由条件可设直线l的方程为3x＋y＋m＝0.解方程2x＋y＋1＝0，

得直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点坐标为(－1,1)．由题意，得3×(－1)＋1＋m＝0，即m＝2.故直线l的方程为3x＋y＋2＝0. 答案：(1)B (2)3x＋y＋2＝0 热点三

直线方程的应用 考向1 与基本不等式相结合求最值

【例3】

已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，

- 7 -

→→B两点，O为坐标原点，求当|MA|·|MB|取得最小值时直线l的方程．

xy【解】

设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l的方程为＋＝1，所以ab→→→→21＋＝1.|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1ab2b2a21＝2a＋b－5＝(2a＋b)＋－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时abab直线l的方程为x＋y－3＝0. 【总结反思】

直线方程与平面向量结合的问题，应注意两点：一是要用坐标准确表示向量；二是正确使用有关的公式. 考向2 与函数单调性相结合求最值

【例4】

(2016·北京卷)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(

) A．－1 C．7 【解析】

依题意得kAB＝B．3 D．8 5－1＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，2－4即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7. 【答案】

C 考向3 与几何图形相结合的问题

【例5】

已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则的大小关系为________________．

【解析】

fafbfc，，abc

- 8 -

作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上fafb各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以

【总结反思】

与直线有关的最值问题的解题思路

(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数．

(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值. fafbfc<<

abc xy(1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(

) abA．2 C．4 B．3 D．5 (2)(2017·兰州模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当00，b>0，故a＋b＝(a＋abab

- 9 -

ba11b)＋＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b＝2时取到，故a＋b的最小值abab为4. (2)由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a1151＋4＝a－2＋，当a＝时，面积最小．

2421答案：(1)C (2)

2

1212

1．直线的倾斜角和斜率的关系

(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．

(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α

0°

0

0°<α<90°

90°

不存在

90°<α<180°

k

k>0

k<0 2．与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点

(1)明确直线方程各种形式的适用条件

点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．

- 10 -

- 11 -