信息技术应用 探索旋转的性质第二课时教案

探究：平面直角坐标系中的90°旋转

教

学

设

计

一、内容和内容解析

1、内容

探究：平面直角坐标系中的90°旋转

2、内容解析

本节是一节旋转知识的探究课，探究的内容是：平面直角坐标系中的90°旋转的问题，涉及到点（或图形）绕着原点（或某点）顺时针（或逆时针）旋转90°后的点的坐标以及与点的坐标相关联的一些问题，解决这类问题的核心策略是转化的策略：１.把图形的旋转转化为点的旋转；２. 向坐标轴作垂直，构造全等的直角三角形（K型图、一线三等角模型）。涉及的知识有：１.点的坐标的相关知识；２.旋转的性质；３. K型图、一线三等角模型的直角三角形全等的判定以及由全等三角形的性质得到的相关线段的长度；４.求满足题目条件的点的坐标；５.平面直角坐标系中，点与函数图象的关系。

本节是在平面直角坐标系背景下的旋转的探究，因而对平面直角坐标系的本质（１.刻画位置；２.实现数与形的结合；３.把几何图形数量化。）应让学生有充分地感受，并让学生在本节课的学习中体会到：一切几何问题都可以归结为代数问题（转化与化归的数学思想方法）。本节是在学习了初中几何三大变换之一——旋转之后，利用平面直角坐标系对其进行相关的探究，因而学生对于旋转的概念与性质要非常地熟悉，这样才能够为本节课的顺利进行提供保障。

本节是代几综合类探究课，涉及的知识比较多，因而中间的衔接、过渡非常关键，为此我精心选题，由易到难，并且前后的选题也精心安排，尽量多花时间对学生进行思维训练、方法提炼。最后通过小结，让学生表述他们在本节课所学到的知识、思想、方法，进一步明确重点，并根据学生的表述进行适当地补充以及进一步深化。

鉴于以上的分析，我们在用好教材的基础上，立足课标，适当加大练习的力度、广度、深度，瞩目中考的导向，有序地开展阶段性专题教学。

二、目标和目标解析

1.知识与技能目标

⑴会构造全等三角形，计算平面直角坐标系中点旋转90°之后的坐标。

⑵掌握把等腰三角形问题，直线旋转问题转化为点的旋转，化繁为简，从中渗透数学的转化思想、数形结合思想等，突出数学本质，发展核心素养。

⑶经历数学问题的探究，进一步培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

⑷结合学生的说题活动，提高学生的思维能力、逻辑推理能力、语言表达能力。

2、目标解析

达到目标⑴的标志是：会通过向坐标轴作垂直，构造全等的直角三角形（K型图、一线三等角模型），再利用全等的性质得到相关线段之间的数量关系，最终解决相关问题。

达到目标⑵的标志是：经历探究过程，进一步地体会数形结合思想、转化思想。

达到目标⑶⑷的标志是：通过教师引导、学生说题，让学生学会分析问题的方法、解决问题的思路、进一步渗透和发展学科素养。

三、教学问题诊断分析

学生在七年级时已经学***面直角坐标系，但是七年级的学生对平面直角坐标系的本质（１.刻画位置；２.实现数与形的结合；３.把几何图形数量化。）这些相对比较抽象的理论，可能理解并不深刻，而且本章的旋转给学生的直观感觉：这是纯几何的问题。因而要做好铺垫，从最基本的点的坐标入手，

由：平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，想到：向坐标轴作垂直，得到与坐标相关的线段的数量，初步感受数与形的结合；再通过旋转的性质得到一些线段、角的数量关系；之后再引导学生利用前两个环节中所得到的条件寻找并证明全等三角形和全等三角形的性质得到解决题目问题所需的条件；最后解决相关问题。

另外，点是最基本的几何图形，但是学生往往没有意识到：可以把复杂的几何图形问题抽象成实质是一些关键点的问题来进行解决，这种转化思想在学生学习经验中相对比较薄弱。

基于以上分析，本节课的教学重点是：如何得到解决平面直角坐标系中（点）旋转90°问题的策略和方法，同时这也是本节课的教学难点。

为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，设计典型例题，引导学生逐展开探究。在学生掌握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼、建模，科学地进行小结、归纳、提升。在此基础上，通过学生尝试解决

，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握更灵活。

三、教学过程分析

一、

故事引入：

从《献给克莉丝汀》的视频画面中展示的爱心曲线引出笛卡尔与公主之间一段浪漫而又凄美的爱情故事，并自然切入介绍主人公——笛卡尔以及笛卡尔对数学的最重要的贡献是创立了解析几何，在他的著作《几何》中，笛卡儿向世人证明：一切几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡儿成功地将当时完全分开的代数和几何联系到了一起。

引入：今天我们将走进笛卡尔创立的平面直角坐标系中，探究初中几何三大几何变换之一——旋转。

展示课题：探究：平面直角坐标系中的90°旋转

【教学说明】用故事引入的方式引入本节课题，能够极大地调动学生学习的积极性和学习兴趣，并为本节课的探究的开展奠定了高端的理论基础：一切几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。

二、

知识回顾：

1、

旋转的三要素；

2、

旋转的性质。

【教学设计说明】复习旋转的概念及旋转的性质，为本节课的探究提供知识基础。

探究旋转：

三、探究1：课本原题（见P63 第11题）

以原点为中心，把点A（4,5）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ , ）．

师生活动：教师出示问题，引导学生由点A的坐标，自然而然地想到向坐标轴作出垂线段AC,并且得出线段AC、OC的线段长；再由图中的旋转得出线段OB=OA,∠BOA=90°；又由题目要求出点B的坐标，再一次想到向坐标轴作出垂线段BD,并明确目标需要求出线段0D、BD的长，同时观察构图，很快发现存在全等的直角三角形（K型图）；推导全等三角形的证明过程；由全等三角形的性质得到线段0D、BD的长，最后再把线段的长度转化为点B的坐标。

【教学设计说明】

从课本原题入手探究点的90°旋转，在探究的过程中，让学生深刻感受到平面直角坐标系的本质：1.刻画位置；2.实现数与形的结合；3.把几何图形数量化。

探究2：如图，平面直角坐标系中，点A坐标是(4,2)，点B坐标是(3,0)，将△ABO绕AO的中点C逆时针旋转90得到△A'B'O'，求点A'的坐标．

师生活动：教师出示问题，引导学生分析题意，确立方法。引导的目的：让学生把复杂的三角形旋转简化为关键点A的旋转。中点C的坐标的寻求是一个小难点，估计学生会想到利用三角形的中位线的相关性质来解决，但是，由于辅助线的添加方法的不同会造成学生的解题出现一个解释不清的含糊点，因而这一环节要多加引导。另外，本题的旋转中心不是原点，所以构图时与上题中会有一定的不同，这也一个小困难点。

师生活动：两个探究结束后，引导学生归结总结出这类的题的解题方法。

教师提问：通过这两个探究，大家可以总结出：平面直角坐标系中90°的旋转问题应该怎么处理？

【教学设计说明】通过把图形的旋转问题转化为点的旋转问题，化繁为简，体现了数学的转化思想，同时再一次让学生感受到平面直角坐标系的本质。并且本题在难度上也有了一定的提高：1.构造中位线得出点C的坐标；2.绕平面直角坐标系中某一点进行旋转。

【方法归纳】： 。

【教学设计说明】引导学生提炼方法：1.图形的旋转转化为点的旋转。2.向坐标轴作垂直，构造全等的三角形。

探究3：

（2019年泉州质检16改编）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4,0），点

B

为 y 轴上的一动点，将线段 AB 绕点B 顺时针旋转

90°得线段 BC，若点 C 恰好落在正比例函数．

y5x的图象上，则点 B 的坐标为（ , ）y

–5–4–3–2–14321O–1–2–3–412345x–5【教学设计说明】学生足够的时间进行思考，然后安排一个学生进行说题活动，引导学生开–6展说题环节：析题——解题——解题策略和方法——思维方法——考查知识点等。本题设计的目的是实现代数与几何进一步结合，体现一切问题都可以归结为代数问题。

四、迁移应用：

平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线yx3上，第四象限内的点B在直线y2x4上，且OAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，求点A、B的坐标．

【教学设计说明】引导学生认真析题，通过析题，发现题干中的等腰直角三角形实际上就是线段OA绕点O旋转90°得线段 OB，接下来依然可以利用本节课探究的核心方法进行构图，同时渗透数形结合的思想方法，在这个过程中注重分析思路的引导，以让学生体验分析的重要性。

五、归纳提升

问1：本节的核心方法是什么？

问2：观察图形解题时，我们要以什么为关键点？

问3：本节体会了哪些数学思想？

【教学设计说明】通过问题让学生表述他们在本节课所学到的知识、思想、方法，进一步明确重点，并根据学生的表述进行适当地补充以及进一步深化，提升学生的数学素养。

六、挑战中考：（课后作业）

1.（2018绵阳）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3,4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（

）

A.（4,-3） B.（-4,3） C.（-3,4） D.（-3,-4）

【设计说明】考查学生对最基本的点的90°旋转的掌握情况。

2.（2019年泉州质检16.）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点

B

为 y 轴上的一动点，将线段 AB 绕点B 顺时针旋转

90°得线段 BC，若点 C 恰好落在反比例函数3y的图象上，则点 B 的坐标为________. xy4321y = 3x【设计说明】本题实际上是探究3的变式题，通过这道题

考查学生对本节课的核心方法的掌握情况，同时因为本题

–4–3–2–1O–1–2–3–41234x

的变式，让学生更深刻地感受到函数图象上的点与函数解

析式之间的本质关系，体会数与形的结合。并且借助本题

让学生复习分式方程的解法以及一元二次方程的解法。

3.（2013滨州）根据要求解答下列问题：

⑴已知直线l1的函数解析式为yx，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数解析式

⑵如图所示，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．

①求直线l3的函数解析式．

②把直线l3绕原点O逆时针方向旋转90°得到直线l4，

求直线l4的函数解析式．

⑶分别观察⑴⑵中的两个函数解析式，试猜想：当两条

直线垂直时，它们的函数解析式中自变量的系数之间有

何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线

y5x垂直的直线l5的函数解析式．

30°yl3Ox【教学设计说明】本题把数形结合思想和图形的问题转化为关键点的问题的转化思想更为深刻地进行体现，在后续的练习题的评讲中，可以评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况。