习题2.3教学教案设计

§2.3.1 幂函数

安徽省舒城中学数学教研组 李允周

【教材分析】

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成. 因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x,y＝x,y＝x,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数a＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 【教学目标】

1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质

2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想

3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 【教学重难点】

教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:幂函数的性质. 【教学设计建议】

一、导入新课

1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，这类函数有什么特点呢？

2、生活中也有这些问题：

(1).如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数. (2).如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. (3).如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数. (4).如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.

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(5).如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数. 以上这些我们生活中经常遇到的几个数学模型,这些函数解析式有什么共同特点？

【设计意图：简单回顾已有知识的基础上，通过实例加深和引出新的函数模型，形成认知冲突.】

二、探索新知

（一）观察分析上述函数的解析式，给这类函数命名。

由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数。

如果我们用字母a来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义: 一般地,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数.如y=x,y=x,y=x等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. （二）画出画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象

1、学生通过列表、描点、连线画函数图象: x y=x y=x

y=x2

y=x3

y=x-1

12122123…

…

…

…

…

…

-3 -3

9 -27 1

3-2 -2

4 -8 1-

2-1 -1

1 -1 -1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 2 2 1.41 4 8 1

23 3 1.73 9 27 1

3…

…

…

…

…

…

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2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格

函数 性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

图象分布

y=x

y=x

2y=x

3y=x

12y=x-1

（三）归纳新知

1、幂函数的定义及其注意

2、上诉五个函数的图像及性质

函数

性质 定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

图象分布

y=x R R 奇

y=x2

R {y|y≥0}

奇

y=x3

R R 奇

y=x

{x|x≥0}

{y|y≥0}

非奇非偶

12y=x-1

{x|x≠0}

{y|y≠0}

奇

在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限单调递增

单调递增

单调递增

单调递增

单调递减

(1,1) 第Ⅰ、Ⅲ

象限

(1,1) 第Ⅰ、Ⅱ

象限

(1,1) 第Ⅰ、Ⅲ

象限

(1,1) 第Ⅰ象限

(1,1) 第Ⅰ、Ⅲ

象限

三、反思提升

（一）幂函数的定义及说明

（二）幂函数的图像及特点

1、第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象,而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断. 2、幂函数y=xa的性质. （1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）；

（2）当a＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）. 特别地,当a＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,a越大,下凸的程度越大. 当0＜a＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,a越小,上凸的程度越大. （3）当a＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

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（三）数学方法与思想

类比法和数学结合的思想

四、反馈例练

（一）基础例练

例1判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2;②y=x-3;③y=x;④y=x.⑤y=2x2

活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,严格按这个标准来判断. 解：①不是;②是;③是④是⑤不是

例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. （1）y=x,（2）y=x2332x-215,（3）y=x-2. 活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价. 解：（1）偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数. （2）非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数. （3）偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,进行判定. 例3证明幂函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数. （二）巩固例练

例1函数y＝（x-2x）212的定义域是( ) A.{x|x≠0或x≠2} B.（-∞,0）∪（2,＋∞）

C.（-∞,0］∪［2,＋∞) D.（0,2）

答案：B 例2

比较下列各组数的大小：

（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量. 解：（1）1.10.1<1.20.1.（2）0.24-0.2>0.25-0.2.(3)0.20.3<0.30.3<0.30.2. （三）拓展提升

分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y＝x,y＝x,y=x;②y＝x-1-2-312,y＝x;③y=x,y=x,y=x;④y=x,y＝x. 13231213活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.

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解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.

图2-3-2 图2-3-3

图2-3-4 图2-3-5 【设计意图：.】

五、课后作业

1、教科书P79 1、2、3 2、校本教辅资料相应练习

【教学设计感悟】

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.

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