阅读与思考 集合中元素的个数教学评价实录

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提升考能、阶段验收专练卷(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用

(时间：70分钟

满分：104分) Ⅰ.小题提速练(限时45分钟) (一)选择题(本大题共12小题，每小题5分) 31．命题“∃x0∈∁RQ，x0∈Q”的否定是(

) A．∃x0∉∁RQ，x30∈Q

C．∀x∉∁RQ，x3∈Q

B．∃x0∈∁RQ，x30∉Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 解析：选D

根据特称命题的否定为全称命题知D正确．

2．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

) A．y＝ln x

C．y＝sin x

B．y＝x2＋1 D．y＝cos x

解析：选D

A是非奇非偶函数，故排除；B是偶函数，但没有零点，故排除；C是奇函数，故排除；y＝cos x是偶函数，且有无数个零点．

x23．(2015·南昌一模)若集合A＝{x|1≤3≤81}，B＝{x|log2x－x}，则A∩B＝(

) A．(2,4]

C．(－∞，0)∪(0,4]

x解析：选A

因为A＝{x|1≤3≤81}

0x4＝{x|3≤3≤3}＝{x|0≤x≤4}，

2B＝{x|log2x－xB．[2,4] D．(－∞，－1)∪[0,4] }＝{x|x2－x>2}

＝{x|x<－1或x>2}，

所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2＜x≤4}＝(2,4]．

4．(2016·陕西质检)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为(

) A．0 C．1

B．2

D．3 3解析：选B

因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－x＝3－1，得x＝1或x＝－(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以

2m＝2.

5．(2016·南昌二中模拟)下列说法正确的是(

)

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A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”

B．已知y＝f(x)是R上的可导函数，则“f′(x0)＝0”中“x0是函数y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件

2C．命题“存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是：“对任意x∈R，均有x＋x＋1<0”

D．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题

解析：选B

选项A不正确，∵不符合否命题的定义；选项B显然正确；选项C不正确，命题“存在x0∈R，使得x2“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”；0＋x0＋1<0”的否定是：对于选项D，原命题是假命题，故逆否命题也为假命题，故选B. log2x，x≥1，6．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(

) x＋c，x<1，

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1⇒c≤－1，但c≤－1⇒/ c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．

3，

x≤1，7．已知函数f(x)＝logx，

x>1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是(

) 13x

解析：选D

当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝41－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x＝－时，y＝f 3

3－1，log4

413，排除C. ＝log1<0，即y＝f(1－x)的图象过点33338．(2016·宁夏中宁一中月考)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log1(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(

) 2A．是增函数且f(x)<0 B．是增函数且f(x)>0 C．是减函数且f(x)<0 D．是减函数且f(x)>0 解析：选D

设－10，故函数f(x)在(－2

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1,0)上单调递减．又因为f(x)以2为周期，所以函数f(x)在(1,2)上也单调递减且有f(x)>0. 1x－29．(2016·湖南调研)已知函数f(x)＝ln x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(

) A．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2) D．(3,4) 1x－2解析：选C

∵f(x)＝ln x－2

在(0，＋∞)上是增函数，

1－1又f(1)＝ln 1－2

＝ln 1－2<0，

10f(2)＝ln 2－2

<0，

11f(3)＝ln 3－2

>0，

∴x0∈(2,3)．

10．(2016·洛阳统考)设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式fx1－fx2>0恒成立，则实数a的取值范围是(

) x1－x2A．(－∞，－3]

C．(－∞，3]

B．[－3,0) D．(0,3] 解析：选C

由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x－x2－ax，x≥a，－∞，a上a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝∴f(x)在22－x＋ax，x

a单调递增，在2，a上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，∴0

11．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2xf(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(

) A．－1

C．2

则(－y，－x)在y＝2x所以有－x＝2－y＋a＋a＋a的图象关于直线y＝－x对称，且B．1 D．4 解析：选C

设(x，y)为函数y＝f(x)的图象上任意一点，

的图象上，

，

从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，

所以y＝a－log2(－x)，

即f(x)＝a－log2(－x)，

所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.故选C. 12．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(

)

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3－，1

A.2e33C.2e，4

33－，

B.2e43，1

D.2e解析：选D

∵f(0)＝－1＋a<0，∴x0＝0. 又∵x0＝0是唯一使f(x)<0的整数，

f－1≥0，∴

f1≥0，e1[2×－1－1]＋a＋a≥0，3即解得a≥. 2ee2×1－1－a＋a≥0，－

3又∵a<1，∴≤a<1. 2e(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分) －x，x≤0，13．(2016·江门调研)若f(x)＝2则f(x)的最小值是________．

x－2x，x>0，

解析：当x≤0时，f(x)＝－x，此时f(x)min＝0；

当x>0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，

此时f(x)min＝－1. 综上，当x∈R时，f(x)min＝－1. 答案：－1 14．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)

所以－2m2＋m＋3应为偶数．

又f(3)

3

－2m2＋m＋3<1，

整理得53所以－2m2＋m＋3>0，解得－1

当m＝1时，－2m2＋m＋3＝2为偶数．

故m的值为1. 答案：1

15．里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，

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此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．

解析：根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．

答案：6

10 000 16．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：

x f(x)

f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．

－1

1

0

2

2

1.5

4

2

5 1

下列关于函数f(x)的命题：

①函数f(x)的值域为[1,2]；

②函数f(x)在[0,2]上是减函数；

③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1

其中真命题的序号是________．

解析：由导数图象可知，

当－10，函数单调递增，

当0

当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，

当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5. 又f(－1)＝f(5)＝1，

所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确．②正确．

因为当x＝0和x＝4时，

函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，

要使当x∈[－1，t]时函数f(x)的最大值是2，

则t的最大值为5，所以③不正确．

由f(x)＝a，

因为极小值f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2，

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所以当1

所以④正确．

故真命题的序号为①②④. 答案：①②④

Ⅱ.大题规范练(限时25分钟) 17．（本小题满分12分）设f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)，

6故f′(x)＝2a(x－5)＋x. 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

y－16a＝(6－8a)·(x－1)，

由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，

1故a＝. 21(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，

26x－2x－3f′(x)＝x－5＋＝. xx令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝3. 当03时，f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；

当2

故f(x)在(2,3)上为减函数．

9由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝

22＋6ln 3. 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝k·ax(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点－A(0,1)，B(3,8)．

(1)求实数k，a的值；

(2)若函数g(x)＝fx－1，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．

fx＋1

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0k·a＝1，－x解：(1)把A(0,1)，B(3,8)的坐标代入f(x)＝k·a，得

－k·a3＝8.

1解得k＝1，a＝. 2(2)g(x)是奇函数．理由如下：

由(1)知f(x)＝2x，

fx－12x－1所以g(x)＝＝. fx＋12x＋1函数g(x)的定义域为R，

2x－12x·2x－2x又g(－x)＝－x＝x－x

2＋12·2＋2x－－2x－1＝－x＝－g(x)，

2＋1所以函数g(x)为奇函数．

附加卷：集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用(教师备选) (时间：70分钟

满分：104分) Ⅰ.小题提速练(限时45分钟) (一)选择题(本大题共12小题，每小题5分) x1．已知集合A＝{a，0}，B＝xy＝lg5－2x，x∈Z，如果A∩B≠∅，则a＝(

) 

5A.

2C．2

B．1 D．1或2 50

由题意得B＝x2

或2. x2，x>0，2．(2016·长沙一模)已知函数f(x)＝1

，x≤0，2x1

则f[f(－4)]＝(

) A．－4

1C．－

4B．4 1D.

41－41

解析：选B

因为f(－4)＝＝16，所以f[f(－4)]＝f(16)＝(16)＝4. 223．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x(

) －5m－3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m的值为

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A．2

C．－1或2

B．－1 D．0 解析：选B

因为函数f(x)为幂函数，所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m3＝2或m＝－1.因为该幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m－3>0，即m<－.所以m5＝－1. π0，

，tan x＞x.则下列4．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，3x0<4x0，命题q：∀x∈2命题中为真命题的是(

) A．p∧q

C．p∧(綈q)

B．p∨(綈q) D．(綈p)∧q

解析：选D

由指数函数的单调性可知命题p：∃x0∈(－∞，0)，3x0<4x0为假，则命π0，

，tan x＞x为真，则命题綈q为假．根据复合命题题綈p为真；易知命题q：∀x∈2的真值表可知命题p∧q为假，命题p∨(綈q)为假，命题p∧(綈q)为假

，命题(綈p)∧q 为真．

5．(2016·沧州质检)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么(

) A．f(－2)

由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝对称，又抛物线f(x)开口

2向上，

∴f(0)

16．(2015·云南二检)设a＝3log12，b＝log1，c＝

3322，则下列结论正确的是(

) 3

A．a

C．b

B．a

D．b

2<1，故a

a＝3log12<0,1

3327．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(0)＝2，则f(2 016)的值为(

)

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A．2

C．－2

B．0 D．±2 解析：选A

∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．

又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

则f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(2 016)＝f(0)＝2. 8．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a>0，且－a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于(

) A．2

17C.

415B.

4D．a2

解析：选B

∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，

∵f(2)＋g(2)＝a2－a2＋2，①

－∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a2－a2＋2，②

－由①，②联立得g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a2＝－15. 49．已知函数f(x)＝x2－bx＋a的图象如图所示，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是(

)

11A.4，2



C．(1,2)

b1，1，则1＜b＜2，易知g(x)＝ln x＋解析：选B

由题图可知f(x)的对称轴x＝∈22111

＝－2ln 2＋－b＜0，g

＝－ln 2＋1－b＜0，g(1)＝2－b＞0，故g(x)的2x－b，则g4221零点所在的区间是2，1. 10．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一1B.2，1

D．(2,3)

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套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为(

) A．3 000元

C．3 500元

B．3 300元

D．4 000元

解析：选B

由题意，设利润为y元，租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．

则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x) ＝(2 900＋50x)(70－x) ＝50(58＋x)(70－x) 58＋x＋70－x2≤502

≤204 800，

当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，

故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．

m＋x2，|x|≥1，11．设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数x，|x|<1

f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是(

) A．(－∞，－1]∩[1，＋∞)

C．[0，＋∞)

B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．[1，＋∞) 2m＋x，|x|≥1，解析：选C

因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所x，|x|<12x，|x|≥1，以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝因为函数g(x)是二次x，|x|<1，

函数，值域不会是选项A，B，画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，易知，当g(x)的值域是[0，＋

∞)时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．

12．已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；②当x∈[－xex≤0，21,1]时，f(x)＝1－x.若函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4,5)上的零点ln xx>0，

个数是(

) A．7

C．9

B．8 D．10 解析：选C

函数f(x)与g(x)在区间[－5,5]上的图象如图所示，由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间(－4,5)上的交点个数为9，即函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4,5)上零点的个数是9.

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(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．函数y＝log1(2x＋1)(1≤x≤3)的值域为________．

3解析：当1≤x≤3时，3≤2x＋1≤9，

所以－2≤y≤－1，所求的值域为[－2，－1]．

答案：[－2，－1]

14．若函数y＝x在区间(1，＋∞)内是减函数，则实数m的取值范围是________．

x－mxm解析：y＝＝1＋，由函数的图象及性质可得0

解析：令g(x)＝ax2＋bx＋c，由图象可知，1,3是ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此a＋b＋c＝0,9a＋3b＋c＝0，又函数f(x)的图象过点(2，－1)，则f(2)＝－1，即4a＋2b＋c＝－1，因此可得a＝1，c＝3，b＝－4. 答案：－4 x2＋116．关于函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)有下列命题：

|x|①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；

②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；

③函数f(x)的最小值为lg 2；

④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．

其中是真命题的序号为________．

x2＋1解析：∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，|x|

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x2＋111x＋x，令t(x)＝x＋，x>0，图象关于y轴对称，故①正确；当x>0时，f(x)＝lg＝lgxx1则t′(x)＝1－2，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，xt(x)单调递增，即在x＝1处取到最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④. 答案：①③④

Ⅱ.大题规范练(限时25分钟) 217．（本小题满分12分）已知集合A＝{x|x－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0}，m∈R. (1)若m＝3，求A∩B；

(2)已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意知，A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－3≤x≤m＋3}. 当m＝3时，B＝{x|0≤x≤6}，

∴A∩B＝[0,3]．

(2)由q是p的必要条件知，A⊆B，

m－3≤－1，结合(1)知解得0≤m≤2. m＋3≥3

故实数m的取值范围是[0,2]．

118．（本小题满分12分）(2016·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝ln x＋＋ax(a是实数)，xg(x)＝2x＋1. x＋12(1)当a＝2时，求函数f(x)在定义域上的最值；

(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围；

(3)是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

1解：(1)当a＝2时，f(x)＝ln x＋＋2x，x∈(0，＋∞)，

x2x2＋x－12x－1x＋111f′(x)＝x－2＋2＝＝，

xx2x21令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝. 2

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10，

时，f′(x)<0；

当x∈21，＋∞

时，f′(x)>0，

当x∈21所以f(x)在x＝处取到最小值，最小值为3－ln 2；无最大值．

2ax2＋x－111(2)f′(x)＝x－2＋a＝，x∈[1，＋∞)，

xx2显然a≥0时，f′(x)≥0，且不恒等于0，

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，符合要求．

当a<0时，令h(x)＝ax2＋x－1，

当x―→＋∞时，h(x)―→－∞，

所以函数f(x)在[1，＋∞)上只能是单调递减函数．

h1≤0，所以Δ＝1＋4a≤0或1－2a≤1，－∞，－1∪[0，＋∞)．

4(3)不存在满足条件的正实数a. Δ>0，

1解得a≤－. 4综上：满足条件的a的取值范围是

由(2)知，a >0时f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，

所以f(x)在[1,2]上是单调递增函数．

所以对于任意x1∈[1,2]，

11＋a，ln 2＋＋2a

. f(1) ≤f(x1)≤f(2)，即f(x1)∈221－x2g′(x)＝，当x∈[1,2]时，g′(x)≤0，

1＋x22所以g(x)在[1,2]上是单调递减函数．

9所以当x2∈[1,2]时，g(x2)∈5，2

. 若对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，

使得f(x1)＝g(x2)成立，

191＋a，ln 2＋＋2a

⊆，2，此时a无解．

则25所以不存在满足条件的正实数a.