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习题2.1

指数函数习题课

学习目标

1. 熟练进行指数及指数幂的运算；

2. 能运用指数函数的性质解决相关问题.

学习过程

一、知识清单

1. 指数及指数幂的运算

a,a0,（1）当n为奇数时，aa；当n为偶数时，aa

a,a0.nnnn（2）a（3）amnmnnama0,m,nN,且n1. s1amna0,m,nN,且n1. （4）aaarrsa0,r,sQ；

arsarsa0,r,sQ；

arbra0,b0,rQ. abr2. 指数函数及其性质

（1）定义：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

（2）

a>1 0

图

象

(1)定义域：R

性

(2)值域：（0，+∞）

质

(3)过点（0，1），即x=0时，y=1

(4)在

R上是增函数

(4)在R上是减函数

二、习题讲解

第一类型：指数与指数幂的运算

A组1. （1）100；（2）-0.1；（3）4；（4）xy. A组2. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：（1）1；（3）1 （2）a12a12aa12aga1212agaagaaa

12121212A组4. 计算下列各式（式中各字母均为正数）：

（2）aaaa（4）4ab2313233456235346a

7121211121a3b36a33b336a

316st（5）425r2632125s3t9125t9r6

6364r64s111212122111342343424（6）2xy3xy4xy24xy33324y

x4（1）a；（3）9；（7）4x9y2；（8）2xy3

y15311B组2. 已知xx（1）xx12123，求下列各式的值：

；（2）x2x2；（3）x2x2. 211111111解：（1）x2x2x2x2x2xx2x5

x2x25

（2）xx（3）xx12x22x29

x2x27

x22x25

xx15

12x2x2xx1xx135

第二类型：指数函数性质的运用

A组7. （1）>；（2）>；（3）<；（4）>. A组8. （1）mn；（2）mn；（3）mn；（4）mn. B组1. 求不等式a2x7a4x1a0，且a1中

x的取值范围. 解：当

a1时，

2x74x1，

x3

当

0a1时，

2x74x1，

x3

当

a1时，x的取值范围为x|x3；当

0a1时，x的取值范围为x|x3. B组4. （1）x111；（2）xa1，x0a1. 555第三类型：实际应用

xA组6. ya(1p%)，0xm

A组9. 当死亡生物组织的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了. 若死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？

解：死亡生物组织内碳14的含量P与死亡年数t之间的关系为

P12t5730

一个“半衰期”为5730年

1所以，经过九个“半衰期”后死亡生物组织内碳14的含量

P295730573010.002

29所以，能探测到。

B组3. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为

a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式.

如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？

解：已知本金为a元.

1期后的本利和为y1aara1r

2期后的本利和为y2a1ra1rra1r

3期后的本利和为y3a1r

LL

32x期后的本利和为ya1r

5x

将a1000（元），r2.25%，x5代入上式得

y100012.25%

10001.0225

1118

答：本利和y随存期x变化的函数解析式ya1r，5期后的本利和约为1118元.

x5