信息技术应用 收集数据并建立函数模型课堂实录【3】

高中数学核心知识清单层级水平解读手册

----促进高中生数学学科核心素养发展的路径

固原一中 周来宾 15309591926 【目的】跨章节的主题进行整体教学设计，阐述数学教学由知识教学向核心素养教学转化的路径，实现课堂教学的精准化、高效化、个性化，提高学生数学学习的实际获得感。

【分析】六步系统思维思路破解数学课堂模式化培养与个性化学习之间的矛盾，在教学中落实数学学科核心素养。使得学习更加丰富多彩、生动有趣，实现教学的精准化和个性化。

要素

内容

1.

本主题内容的数学本质、数学文化以及所渗透的数学思想等；

数学本质是数学建模、渗透的数学思想主要是转化、化归思想。

2.

本主题内容在本学段数学课程中的地位；

罗列出高中数学文科核心知识点，抓住一个中心公式演绎推理。

3.

本主题内容在整个中小学数学课程中的地位和作用；

处于统揽全局、提纲挈领的高位，作用是打通中小学数学课程的层级水平联系。

4.

本主题内容在数学整体中的地位；

指导性大纲地位。

教学内容分析

5.

本主题内容与本学段、前后学段以及大学其他知识之间的联系。

交给学生学习数学的看法、方法和办法以及探究的手段。承上启下为大学学习做出了形象的解释预备工作。

1.

课程标准中对本主题内容的要求；

课程标准分析

2.

课程标准中对本主题内不同内容要求的关联。

类比分级别转化降解

1．

学生学习新知识的预备状态；

高中三年一直记录每章每节的核心知识清单并使用核心公式

2.学生对即将要学习的内容是否有所涉猎；

全部涉猎

学情3.

学生学习新知识的情感态度；

分析

树立全新的数学观念

4.

学生的学习方法、习惯以及风格。

理解、感悟、猜想、验证、抽象、推理。

习惯了六步法、同构、对称、一元化、口诀，肢体语言。

教材分析

1.比较不同版本教材的对本主题内容在概念引入、情境创设、例题习题的编排方式等方面的异同,分析各自的特点；略

层级水平要明确到位

2.根据学情选择适当的内容及其处理方式。举例、记忆

1.

主题整体教学重难点; 重难点分析

2.具体课时重难点。

表达全与详解困难

教学方式分析

【教学过程】

一、

引言：

教育是为儿童未来更好的生活做准备

——斯宾塞，思考：我们的课堂能做些什么？本节课演示高中数学核心知识清单素养问题解读，涉猎核心素养与课堂教学改革。

问题一：核心素养的内涵是什么？学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。

核心素养的特点：

1、共同性：所有学生都应具备的共同素养，是最关键、最必要的共同素养 2、发展性：是连续和分阶段的，在学生的不断成长中发展完善

3、综合性：涵盖知识、技能、情感、态度等多方面的综合表现 4、开放性：兼顾个人和社会的关系，兼具个人价值和社会价值 5、可教可学：可通过接受教育而形成和发展 高中数学必备品格：数学建模

，

数学关键能力：举一个例子。

核心素养与课堂教学改革 渗透文化，润泽数学课堂

尝试思维导图

求全责备、拆解系列众多

从主题整体角度出发,选择合适的教学方式（体现学生的主体性)。

1.用美学展示文化，体现数学之美

2.让历史彰显文化，体现数学的源远流长

3.以思维诠释文化，体现数学的内在魅力

4.借生活推广文化，体现数学的应用价值

5.将古代寓言故事结合在数学学习中，体现学科的整合

二、课程标准分析说明：

《普通高中数学课程标准》（2017版）中华人民共和国教育部制定 P79学业质量水平与考试评价的关系,以及P100附录1 数学学科核心素养的水平划分： 数学学业质量水平①高中毕业水平 对应层级水平①熟悉的情景中感悟数学的通性通法； 数学学业质量水平②高考要求

对应层级水平②能够在关联情境中抽象、构建、探索、推广； 数学学业质量水平③大学自主招生参考要求

对应层级水平③构建模型，数学语言交流。 e.g:56.关于直线的斜率层级水平①：知道y＝kx＋b中x的系数是斜率。 层级水平②：Ax+By+C=0,k=－A：B可以快速求出斜率。A、B同号，k＜0,直线l下坡子。一看A、B异号，立刻断定直线是上坡子。

层级水平③：有关斜率变化范围的题，主要还是要清楚

图像。另外，导数即斜率。 三、高中数学学科核心素养表现：

•

数学抽象（设）

e.g:62.椭圆、双曲线、抛物线定义中设•

直观想像（找） e.g:47.立体几何证明点线面位置关系的要点是:题目中缺线补线，缺面补面，缺点补点，缺啥补啥。 •

逻辑推理（列）

，如此巧设，便于找列解。

e.g:22.从特殊到一般举例，督促学生分类讨论，数形结合，经历公式生成过程，复习记忆公式可以通过“举一个例子”激活。比如，

是和差角以及二倍角公式之母。推导了后，特殊化得tan2α公式，马上再套公式写出tan4α，再试写tanα＝? •

数学运算（解）

e.g:29.运算中，同构的思维给运算一个启动的目标。如，对数运算里将真数同构为幂的形式。又比如，在终边在y轴的轴线角的合并过程里，270º里可以分离出90º，提取180º后，出现180º的奇数倍，再将对照配凑成180º的偶数倍，或取并集为90º+k180º, k∈Z。

•

数据分析（检验） e.g:64.涉及到概率统计的小数换算成百分数,基本上就对它有一定的感觉了。比如相关系数R²为0.98，意思就是两个随机变量相关程度接近98％.p（k²＞k。）＝0.05，意思就是犯错的概率不超过5％，间接说明，有95％以上的可能相关。 •

数学建模（答）

e.g:53.抱有六步书写习惯和一元化的函数思想，是高中数学通用的代数化思维表达方式，它的背后暗藏着几何意义的检验,先知先觉。属于层级水平②，大同的解题建模套路，伴随三年所有内容的解题过程同一的步骤，最终解除解题格式的疑惑。

四、

创设合适情境：

（一）、实际情境 e.g: 16.所谓线性规划其实就是求最值。线性规划的学习类比简单函数结合滑雪场滑雪形象理解，会豁然开朗。目标函数z就是以为自变量的二元函数，赋予其平行直线系的几何意义，看作雪橇的滑动痕迹。线性约束条件形成的区域就相当于定义域，看作滑雪场，目标函数z滑到可行域最边际的位置，往往得到z的最值，所过的点理解为最优点，是解得Z最值的最优解，其他可行域内的点都是可行点（解）。 50.三视图可以尝试组装到三维坐标系里，注意横竖不变、纵减半。先放正视图，再摆放侧视图，逼出俯视图，或者先放俯视图，尝试组装。类似盖房子。 49.涉及垂直证明题时，始终找旗杆，要证a⊥b,往往转化为证明b⊥a,再转化为b垂直a所在平面，再循环使用到旗杆垂直地面，得证。其本质就是三垂线定理及其逆定理。绝对属于层级水平③，高难度的接二连三的垂直转换。总之，证明垂直时，始终要明确研究对象是那条直线，围绕研究对象这一个中心，也就是说，始终把研究对象看作主语。

（二）、科学情境 e.g: 9.“挂果原理”就是对数函数在坐标系右侧上下位置与底数大小的对应关系，基本是挂着3斤的苹果枝肯定低于2斤的，过了平衡点的又像跷跷板一样，一头低，另一头就高。 48.与球体有关的题联系地理地球的纬线等形象想象。 2.子集是集合概念里的核心，就当作鸡蛋黄部分考虑，交小并大，含于的符号对应小于或等于去理解。 （三）、数学情境 e.g： 42.等差数列an的通项公式，下标和相等项和也相等以及Sn的上底加下底乘高除以二，三者联合解题，这是必须会的底线。 3.初高中衔接回归初中知识点是学好高中数学的好办法。比如，高中的f(x)其实是初中的y;高中的对数其实是初中的指数x；高中的分数指数幂其实就是初中的根式。

8.高中的重要不等式来源于初中的完全平方差式，重要不等式又推导出基本不等式。所以，重要不等式承上启下，这就是重要的原因。 54.解析几何的核心在于任何一点都要试图看作公共点，往往是直线与圆锥曲线的“交点”或切点。这样的话，就可以依靠联立方程组的方式实现一点化、一元化的函数方程的思想功能。思维层次高度提炼到统一的境界，属于层级水平③

（四）、历史情境 e.g:18. 什么是对数?学生总是懵懂。其实,高中的对数就是初中的指数（x），只不过是化了妆,降落到了地上的“织女”，她是与牛郎（N＞0）天河（=）鹊（a）桥上下遥相对应的指数，简称对数。赋予对数一点情境，学习起来比较对位。 28. 表示与α终边相同的一个终边位置。理解两角相差若干圈，终边重合了。

五、拓展记忆公式办法

（一）、口诀心诀 e.g: 24.学生不能套入较为复杂的公式，主要原因是没有理解过程与结果的关系。应该只记住核心公式，其他按当时需要可以自行再次推导，如cos²x＋sin²x＝1，两边除以cos²x，得

。把主要结论与辅助推导结合起来，激活思维层级水平③。 (一见鱼就屠杀防绊脚)；（一夹鱼就涂烤防绊脚）这两个升降幂公式年年高考必考无疑。

31.诱导公式先定研究对象kπ／2±α在哪个象限，相应函数值的±，再考虑其绝对值位置是sinα还是cosα占位。可以通过举个锐角的α例子试探。 35.正弦定理核心出发点在于知道

。举例ABC，直径所对的圆周角C是直角，回归初三三角函数定义，sinB=?，甚至；属于层级水平①。当涉及到至少一对“对角、对边”时，采用正弦定理，学生遇题需要观察整理已知条件，隶属于层级水平②。

43.向量垂直算出坐标，应该在直角坐标系下，画出两个向量，几何检验是否垂直。因为，有可能混淆平行的条件。两向量平行对应两向量坐标交叉相乘相减为零；两向量垂直对应于横乘横加纵乘纵为零。这里平行里面有垂直，垂直里面有平行，从层级水平③容易混淆迫降到②黑白分明。 45.平面向量基本定理其实就是量化了的平行四边形法则，基底垂直正交分解，就得出向量坐标化。平面向量基本定理的使用，关键在于将研究对象的向量伸缩放进有基底的三角形里，“伸缩、靠边转”，就是在构造使用三角形法则。属于层级水平③，是向量加减法以及伸缩数乘混合运算的几何运转。现实是，学生不这样指示，不能激活向量的分解运算。

46.任何一个非零向量都可以看作差向量，放进三角形中，使用三角形法则表示。共起点，才能减，尾相连，指被减。属于层级水平②，是加法法则的推论，可是，实际解题中更加常用、实用。 7.基本不等式

层级水平①：基本不等式一正二定三相等，小河（和）鸡（积）大腿，意思是在三个条件具备时，和会产生最小值，积有最大值。

（二）、肢体语言 e.g： 21.最核心是对定义的理解认识训练要到位，三角函数抓住一个点的坐标。层级水平②

比如，sinα＝y.在单位圆上，y是α与单位圆交点P的纵坐标。举一个例子：转定α＝0的终边，找到P点，往墙上看y的值为0，则sin0＝0，往地上读出x＝1，则cos0＝1。你试试cosπ＝? ，sinπ＝? 六、画图检验基本功

（一）、

画图 e.g:17.高中的大多数基本函数的草图都可以使用三个代表点勾勒出轮廓，最好使用五个点把走势确立起来。图越精准，越利于找到等量关系。你要分析定义域范围内选择哪三个自变量取值，还要能算出相应函数值来。这样描点连线才不会缺失图像。如y²＝4x的图像。很多高三文科学生，最后不会画，甚至反比例函数画成s形状。给

x加绝对值的函数图像应该右翻左，给整个解析式加绝对值的函数图像应该下翻上。最好取几个点对称后连线，确保翻折前后要关于轴对称。画图应该涉及到函数性质，属于层级水平②。

函数图像草图三点法即可（正弦余弦函数需要五点），比如，学生列表不会计算2º，导致不会作图。为什么aº＝1,(a≠0)？因为aº是幂，是指数运算的结果，所以可以看作aº＝ 1,由于a做了分母，因此a≠0.这样构造运算来解释。

（二）、识图 e.g:53.垂直于x轴的直线，代表就是抛物线的对称轴，垂直于y轴的代表y＝1。垂直于y轴的直线上所有点的共同特征就是纵坐标相同，海拔高度一样，所以，x轴这条直线记作y＝0；y轴上的所有的点的横坐标都是x＝0，（y∈R）。

总之，垂直于y轴的直线方程就记作y＝c；垂直于x轴的直线方程记作x＝x。属于层级水平②，归类找规律。

（三）、用图 e.g: 61.椭圆的形状告诉我们它的a是斜边；双曲线的样子暗示c是斜边。综合使用解决a，b问题，属于层级水平②。管理运作水平有章可循。 阻拦学生能力的是，数形结合，该算的算不对，背过图硬算，看着图不敢大胆假设点的坐标，无法启动计算。其实，没有规矩不成方圆，使用圆规、直尺，往往可以实现数形结合，准确作图，答案昭然若揭。千万不要心算、口算，每一步都笔算。往往失误就在最后一个负号上。

七、一元化函数思想是高中数学的核心

e.g:9.函数概念

层级水平①：“f(x)＝?”是学习函数定义最有意思的提问。高中的f(x)其实就是初中的因变量y。

层级水平②：学函数就看两个方面。

学生最开始不清楚定义域是x的取值范围。函数的定义域在x轴上，单调区间是定义域的子集，也在x轴上。极值点常常误认为是函数图像上的峰点或谷点，错！极值点是函数取得极值的地点，在x轴上。极值点的作用是分割单调区间。类似地，零点就是点，是函数值为零的地点，一定是函数图像与x轴的公共点，零点一定在x轴上，一一对应数轴上的实数。

函数的标准记法：参数法可以理解为分离函参，继而看作分离函数法，将参数分离到式子左边，看作常数函数，这样的话，分离为左函数、右函数；“大小个子原理”就是姚明超过我们一个班所有人的个头等价于超过我们班最高的那一个，也就是超过我们这个函数的最大值。 11.函数的单调性是整个高中数学的一条线索。函数自变量与因变量变化趋势一致、相反，导致函数图像上坡、下坡；升调、降调，单调。也就是，“同增异减”，推及复合函数也是一样。 54.解析几何的核心在于任何一点都要试图看作公共点，往往是直线与圆锥曲线的“交点”或切点。这样的话，就可以依靠联立方程组的方式实现一点化、一元化的函数方程的思想功能。思维层次高度提炼到统一的境界，属于层级水平③。 八、后记：

1.核心素养的萃取是一次凝练与结晶的过程，依靠的是专家的智慧；而核心素养的培育则是一次次融化与弥漫的过程，融入于每一个教师自己的经历、经验、教学方式，甚至是身体力行的生命姿态中去完成的个性化诠释。

2.核心素养的培育是一个师生相长的过程。不要只单向地认为教师在培育学生的核心素养，另一方面，学生也在用他们的行为表现、反馈信号不断拷问、锤炼、深化和砥砺老师自身的核心素养。

3.你追求什么，就一定会影响到你的学生也追求什么；当你用自己的生命去体悟什么是核心素养时，你就已经给了孩子们最重要的东西。

九、附：高中数学核心知识清单层级水平解读手册

固原一中特长部数学课题组（2018/5/4） 班级 姓名

说明：《普通高中数学课程标准》（2017版）中华人民共和国教育部制定 P79学业质量水平与考试评价的关系,以及P100附录1 数学学科核心素养的水平划分：

数学学业质量水平①高中毕业水平，对应层级水平①熟悉的情景中感悟数学的通性通法；

数学学业质量水平②高考要求，对应层级水平②能够在关联情境中抽象、构建、探索、推广；

数学学业质量水平③大学自主招生参考要求，对应层级水平③构建模型，数学语言交流。

1.涉及含参数集合关系的题目，首先考虑最特殊的空集ø。

的

必须大写，表示全集；正整数集

(星星在天上，家在地上)。

层级水平①：能识别、正确书写这些专用集合符号。符号法则

或

，得

或

。

，或

，体现到

层级水平②：“上下且求交集，左右或取并”。正确计算交集、并集。最终解集为

。

2.子集是集合概念里的核心，就当作鸡蛋黄部分考虑，交小并大，含于的符号对应小于或等于去理解。

层级水平③：综合考虑到空集、子集等概念。举个例子：

，

，

,求m的范围。

3.初高中衔接回归初中知识点是学好高中数学的好办法。比如，高中的f(x)其实是初中的y;高中的对数

其实是初中的指数x；高中的分数指数幂其实就是初中的根式,即

，(根号外面的字母

是指数里的分母)。

，（

）；

，

。

4.三个二次里的Δ正负零与抛物线和横轴位置关系的对应过程，

层级水平②：应该让学生亲自联系。

层级水平①：以一元二次方程的求根公式为出发点分类讨论最为贴近初高中衔接。

层级水平③：类似于三个二次，求

的解集，先画出左函数

的图像，再画出右函数

的图像，观察求出交点横坐标，得解集

，自己想想

的解集？

另外，开口上下的抛物线的位置，左右由对称轴控制，上下由Δ控制。堪根定理只能控制上下位置，所以要结合对称轴控制根的分布。

5. 一元二次方程

层级水平②：十字相乘法其实就是上下两行竖式表达了两个一次式相乘，项项见面的巧妙的位置检验。

层级水平①：一元二次方程不能因式分解时，马上考虑套用求根公式。

6.层级水平③：一般地，见到谁谁是一元二次方程的两个根，八九不离十，你得使用根与系数的关系。这是六步法典型的找的办法，加一下，乘一下，得和式积式。往往又可以使用基本不等式或重要不等式。

7.基本不等式

层级水平①：基本不等式一正二定三相等，小河（和）鸡（积）大腿，意思是在三个条件具备时，和会产生最小值，积有最大值。

层级水平③：1的代换，最自然的办法是将所求式的分子数值逐个换成代数式。但是，有些题逼迫看做原式×1，再使用1的代换。

层级水平②：还有“凑分母”，为的是积为定值。e.g:

？

…

8.高中的重要不等式来源于初中的完全平方差式，重要不等式又推导出基本不等式。所以，重要不等式承上启下，这就是重要的原因。

9.函数概念

层级水平①：“f(x)＝?”是学习函数定义最有意思的提问。高中的f(x)其实就是初中的因变量y。

层级水平②：学函数就看

、

两个方面。

学生最开始不清楚定义域是x的取值范围。函数的定义域在x轴上，单调区间是定义域的子集，也在x轴上。极值点常常误认为是函数图像上的峰点或谷点，错！极值点是函数取得极值的地点，在x轴上。极值点的作用是分割单调区间。类似地，零点就是点，是函数值为零的地点，一定是函数图像与x轴的公共点，零点一定在x轴上，一一对应数轴上的实数。

比大小的时候，常规先考虑正负，这是与0先比较；如果都是正数，再考虑与中介数1对照分类，或许根据数字大小的大概，选择0.5作为参照物、分界点，逐级细化范围。其实就是不等式的放缩。

“挂果原理”就是对数函数在坐标系右侧上下位置与底数大小的对应关系，基本是挂着3斤的苹果枝肯定低于2斤的，过了平衡点的又像跷跷板一样，一头低，另一头就高。 层级水平③：

函数的标准记法：

。分离参数法可以理解为分离函参，继而看作分离函数法，将参数分离到式子左边，看作常数函数，这样的话，分离为左函数、右函数；“大小个子原理”就是姚明超过我们一个班所有人的个头等价于超过我们班最高的那一个，也就是超过我们这个函数的最大值。

） 。

10.有关复合函数定义域问题，主要按照确定f作用的范围大小（）来承上启下。层级水平达到③。

要使f( )有意义，不管怎么样的代表“鱼”（

代表元素代数式）掉进去，最大的活动范围就是（ ）这么大。把f（

）的代表元素代数式与x混淆，原因是f（x）中x即是自变量，又同时代表了f的作用范围的代表“鱼”。

e.g：①已知

的定义域为

，求

的定义域？

②已知

的定义域为

，求

的定义域？

11.函数的单调性是整个高中数学的一条线索。函数自变量与因变量变化趋势一致、相反，导致函数图像上坡、下坡；升调、降调，单调。也就是，“同增异减”，推及复合函数也是一样。关于复合函数单调性的同增异减，层级水平达到②，核心要通过映射图分析，明确自变量与因变量变化趋势一致为增，相反为减。

注意：

与

容易混淆，底不变，指在变，指变指函数；底变幂函数。

12.问哪儿的解析式就从设x在那里开始，然后

就会落入已知范围，代入已知解析式，再利用奇偶性转化得到f(x)的解析式，其中的x一定是最初假设范围内的x。

e.g:已知函数 是奇函数，且在 ，

）上

，求

）在 ， 上的解析式。

13.函数奇偶性求参数值的办法最好是给自变量赋值，通过举个例子，一下实现化三元为一元，最好先看特性能不能使用。一般来说，以单调性为主，奇偶性为辅助。

14.六步法找关系大多数是通过四则运算来发现。

比如，f(－x)与f(x)通过“加一下，减一下”来发现二者相等或相反的关系。f（a＋x）＝f（a－x）左右括号里的式子加一下为定值，说明可以求出对称轴

值2a，说明函数有周期

2a。

另外，成公式

小

大

；f（x＋a）＝f（x－a）差距为定

，这样化简“上下”叫约分；a-9=b-9得a=b这样左右叫抵消。

小大大

小

归纳

。

15.所谓的“极端原理”就是举出最特殊的例子，猜想结论。

e.g: 已知数列

是递增数列，求实数

的取值范围。

举一个最极端的例子：

，解得

,竟然与用

，

解得的答案一样，为什么？因为这样的特例恰恰符合了定义的解题的分离参数解法的含义，首项最小，等价于小于其他各项里最小的第二项。

16.所谓线性规划其实就是求最值。线性规划的学习类比简单函数结合滑雪场滑雪形象理解，会豁然开朗。目标函数z就是以

、

为自变量的二元函数，赋予其平行直线系的几何意义，看作雪橇的滑动痕迹。线性约束条件形成的区域就相当于定义域，看作滑雪场，目标函数z滑到可行域最边际的位置，往往得到z的最值，所过的点理解为最优点，是解得Z最值的最优解，其他可行域内的点都是可行点（解）。

17.高中的大多数基本函数的草图都可以使用三个代表点勾勒出轮廓，最好使用五个点把走势确立起来。图越精准，越利于找到等量关系。你要分析定义域范围内选择哪三个自变量取值，还要能算出相应函数值来。这样描点连线才不会缺失图像。如y²＝4x的图像。很多高三文科学生，最后不会画

，

，甚至反比例函数画成s形状。给x加绝对值的函数图像应该右翻左，给整个解析式加绝对值的函数图像应该下翻上。最好取几个点对称后连线，确保翻折前后要关于轴对称。

画图应该涉及到函数性质，属于层级水平②。

函数图像草图三点法即可（正弦余弦函数需要五点），比如，学生列表不会计算

、

、2º，导

致不会作图。为什么aº＝1,(a≠0)？因为aº是幂，是指数运算的结果，所以可以看作aº＝

＝＝1,由于a做了分母，因此a≠0.这样，

,就可以构造运算为

来解释了。

18. 什么是对数?学生总是懵懂。

层级水平①：

其实,高中的对数

就是初中的指数（x），

只不过是化了妆,降落到了地上的“织女”，她是与牛郎（N＞0）天河（=）鹊（a）桥上下遥相对应的指数，简称对数。赋予对数一点情境，学习起来比较对位。然而，对数函数

的

经常被我们忽略掉。如果写成 ? 层级水平②：

1的对数是0,底数的对数是1（

）?这些需要结合对数定义，设找列解检验答六步解决。

e.g：设

,则

，而aº＝1,(a≠0)，所以

,又因为

,故x=0,即

。

19.理解到取对数运算最主要是实现降一级运算。举一个例子，“打排球”

,先乘方再求对数变换为先求b的对数再乘以指数n。

20.同底幂相乘，底数不变，指数相加；积的幂等于幂的积；幂的乘方等于底不变，指数相乘。相近的运算法则容易混淆，翻译成汉语帮助记忆。e.g:

=-1 21.最核心是对定义的理解认识训练要到位，三角函数抓住一个点的坐标。层级水平②

比如，sinα＝y.在单位圆上，y是α与单位圆交点P的纵坐标。举一个例子：转定α＝0的终边，找到P点，往墙上看y的值为0，则sin0＝0，往地上读出x＝1，则cos0＝1。你试试cosπ＝? ，sinπ＝? 22.层级水平③：从特殊到一般举例，督促学生分类讨论，数形结合，经历公式生成过程，复习记忆公式可以通过“举一个例子”激活。比如，

β

是和差角以及二倍角公式之母。推导了

后，特殊化得tan2α公式，马上再套公式写出tan4α，再试写tanα＝? 由于三角形中（A+B）+C=180º,所以sin（A+B）=sinC，举个例子，sin120º=sin60º。往往题目中需要返过来，sinC=sin（A+B）化一角为两角，套用和角公式。

cos150º=-cos30º=-sin60º=?学生老是记错。cos30º＝? cos150º=? 学生往往回答错。原因只学得sinx在

单调增，不知道cosx减 ,余弦小角对大值。两种办法，cos30º＝sin60º＝；另外就是画出含有30º的直角三角形，要知道30º所对的直角边是斜边的一半，由勾股定理，算出另外一个直角边是

；同理，tan45º＝? 。

这个诱导公式

说明

的图像

向左平移个单位得

的图像，

是

的“父函”，数学要追根溯源，所以说为什么我们总是只学正弦函数。

23.公式记忆往往要双向记忆，最好同构对照。属于层级水平②

e.g： cos²x－sin²x＝cos2x大多数公式要激活的话，必须会逆用，如2sin cos ＝sin2 ，从左到右降次，从2次降到1次。因为sin ＝y，cos ＝x，sin cos ＝xy，是个二次式。积式的好处便于判断正弦余弦值的正负，最终决断

的终边位置。sin cos 也是联系sin ±cos 的中转站。

24.学生不能套入较为复杂的公式，主要原因是没有理解过程与结果的关系。应该只记住核心公式，其他按当时需要可以自行再次推导，如cos²x＋sin²x＝1，两边除以cos²x，得

要结论与辅助推导结合起来，激活思维层级水平③。

e.g:只记住

，需要正弦化，再辅助

代入上式，得

.最终得

.(一见鱼就屠杀防绊脚)；另外，

，（一夹鱼就涂

。把主烤防绊脚）。这两个升降幂公式年年高考必考无疑。

25.换元法的本质就是函数化，把一个代数式看作一个字母y；三角函数ωx＋φ始终看作一个角α，回归到正、余弦函数。另外，换元最关键的是，替身要和演员胖瘦一致。谁会使用换元法了，谁就会学高中数学了。

e.g:令

，则

。换元时，必须立刻解出注明t的范围。

26.正弦函数，余弦函数的单调区间，首先通过图像找到一个代表单区，然后添加上周期，一定要注明“每一个”三个字，否则单区表达错误。

27.三角函数

的零点全是它图像的对称中心，代入哪个x的值算出的

的

统统是对称轴；以此类推，使得

的

的

， 就是中心，使得

的

,就是对称轴方程。

28.

，（k∈Z）表示与

终边相同的一个终边位置。转用

，（ ）来理解两角相差若干圈，终边重合了。

+k ，表示两个位置，k为偶数时，与

终边位置相同；k为奇数时，表示的角的终边在

反向延长线上。 +k／2 ，表示四个位置。

29.运算中，同构的思维给运算一个启动的目标。属于层级水平②。如，对数运算里将真数同构为幂的形式。

。又比如，在终边在y轴的轴线角的合并过程里，270º里可以分离出90º，提取180º后，出现180º的奇数倍，再将

对照配凑成180º的偶数倍，或取并集为90º+k180º, k∈Z。

30.函数左右平移变换时，只是改变了函数图像的横坐标。高水准层级水平③。记住在直角坐标系下，只能改变x.所以，给

，实现的途径是看当时对应的给横坐标x＋?,自然提取系数，发现ω（x＋?）, 而φ变换不影响ω变换。

31.诱导公式先定研究对象kπ／2±α在哪个象限，相应函数值的±，再考虑其绝对值位置是sinα还是cosα占位。可以通过举个锐角的α例子试探。

e.g:y＝sin(2x+ /3)变换成偶函数，说明解析式要变成余弦型函数，可以加 /2，减 /2.

32.“第一零点法”本质是回归到正弦函数［0,2π］图像，令X＝ωx＋φ，x与X之间有对应，只需要盯住与y＝sinx，x∈［0,2π］相同位置的关键点，x轴同时做X轴，第一个零点做原点，那么，x取的值就对应着X＝0。推而广之，可以对照五个关键点的X与x取值，因此可以命名为五点对应法。画图时，

只要用刻度尺找到级水平③。

，其他

，

，

用圆规定位。这样子的图像不变形。属于对应的思维，层33.综合锐角三角函数概念，提斜边辅助角公式，涉及构造和差角公式。属于典型的层级水平③。

假设a＞0、b＞0,asinα±bcosα＝r（sinα±cosα）＝r（sinα±cosα）＝rsin（α±β），此处须找到一个辅助角锐角β，使得cosβ＝，sinβ＝，需要构造以a、b为直角边的直角三角形，斜边

述容易歧义，抽象的公式明确，却不容易学会。

34.三角形面积公式为底乘以高再除以二，层级水平①。

已知两边一夹角，即SAS，则三角形形状大小一定，其面积随之确定。

，假设a边上的高为h，自己做图观察，则h=bsinC，是因为

。属于层级水平②，学生普遍能记住规律。

35.正弦定理核心出发点在于知道

三角函数定义，sinB=?，甚至

。给学生说提斜边不够明确，应该是和式两项分别除以斜边，整个乘斜边。从中发现语言描

。举例 ABC，直径所对的圆周角C是直角，回归初三

；属于层级水平①。当涉及到至少一对“对角、对边”时，采用正弦定理，学生遇题需要观察整理已知条件，隶属于层级水平②。

36.余弦定理就从cosA=?出发 ,遇到求角的就套此公式，组装组织功能强大，以此为核心学习。

令

，这样就明确了定义域。但是，实际上，做题时，大都遗忘角的范围，理论高度属于层级水平③。

向量的数量积也从cosθ=?展开定性以及坐标化定量计算。如果两个向量的夹角的余弦是负值，那么夹角99%是钝角，也有极端的180的可能。如果夹角的余弦是正值呢？属于层级水平②，讲解后都能小心0注意。

向量在

向量方向上的射影

θ,其实是有向线段表示的实数，而不是向量。有向线段表示±5，初一就用数轴上的带箭头的线段表示过。应该是层级水平③，

θ不易识别，培训后，可以接受映射不是向量而是实数的事实。

极坐标的学习，还是直角三角形下的勾股定理和正弦、余弦、正切的三角函数。cosθ＝，sinθ＝

，tanθ＝ ,

。这样顺接初中学生的背景知识，一脉相承的历史感，有程序化的延生。属

于层级水平②，属于基本概念的科学情境层面。

37.

3

4

5、6

8

10是勾股数；5

12

13、10

24

26也是勾股数，为什么勾股数二倍又是勾股数?哦，相似比吧！伸缩变换。画图看看，果不其然，那么，9

12

15应该也是。你试着检验检验。勾股定理是余弦定理的特例。应该是层级水平①，最基础的认知过程再现。

38.SC+CS， ，才能使用和差角公式；如果是sinAcosA=sinBcosB，就两边乘以2，得sin2A=sin2B。层级水平②，相近的公式甄别对待。

39.连不等式按不等号拆成左右两个不等式，分别逐一求解符合数学一元化思维方式。比如，求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间。单边计算，在选择题时，往往快捷。

虽然隶属于层级水平①，但也是久违了的认识，平时双管齐下解惯了以后，意识不到“逐一求解”的意境，其实很高。

40.要习以为常，数列题列举四到八项发现规律一一列举的做法。层级水平①，数列换元有助于认知。

层级水平②：科学情境中识别，程序框图里的计数器i相当于数列的n，累加（乘）器s相当于

。i＝i+1，可以理解为右边的i是上一次的值，左边的i是最新的，也就是旧i加1变成新i。这是堆栈原理。

41. 数列

与

的关系中最原始的转化，e.g:

，罗列出前三项,属于层级水平①；认识到

就是

,

，大多数解题都是划归到

方面,然后再列出有关首项和公差或公比的方程，属于层级水平②；具体解题时，由已知的

与

的关系，再对联出

的式子相减得

的操作过程，属于层级水平③。

42.等差数列an的通项公式，下标和相等项和也相等以及Sn的上底加下底乘高除以二，三者联合解题，这是必须会的底线。e.g:

；等比数列只记住

。属于层级水平②，用梯形等提示记忆，转化到层级水平①，起码记住一个公式。

43.向量垂直算出坐标，应该在直角坐标系下，画出两个向量，几何检验是否垂直。因为，有可能混淆平行的条件。

两向量平行对应两向量坐标交叉相乘相减为零；两向量垂直对应于横乘横加纵乘纵为零。这里平行里面有垂直，垂直里面有平行，从层级水平③容易混淆迫降到②黑白分明。

。

另外，柯西不等式记忆办法，可以牢记向量形式的柯西不等式

类比来源于

，要意识到取绝对值是先平方后开方的两种复合运算。把认识水平提升到了层级水平③。注意，这只适用于实数范围。

44.平行四边形法则涉及到和差向量是对角线向量，

，几何含义是平行四边形要想对角线相等，根据边角边，必须同旁内角相等，即必须是长方形。属于层级水平③。

学生猜测是菱形，举例子，顶角非常小的等腰三角形上下对称放置两个，形成菱形，显然上下长左右窄。又说正方形，对，角边角论证正确，一般地，长方形对角线相等，不完全归纳后，可以再分析论证。另外，对角线垂直的四边形不一定是菱形。

真正学得平行四边形法则，必须学会识别半个平行四边形的三角形中线向量，这个模型可以升华到三点共线的等价条件。实现一个法则三个层级水平连续加挡。

45.平面向量基本定理其实就是量化了的平行四边形法则，基底垂直正交分解，就得出向量坐标化。平面向量基本定理的使用，关键在于将研究对象的向量伸缩放进有基底的三角形里，“伸缩、靠边转”，就是在构造使用三角形法则。属于层级水平③，是向量加减法以及伸缩数乘混合运算的几何运转。现实是，学生不这样指示，不能激活向量的分解运算。

46.任何一个非零向量都可以看作差向量，放进三角形中，使用三角形法则表示。共起点，才能减，尾相连，指被减。属于层级水平②，是加法法则的推论，可是，实际解题中更加常用、实用。三角形中线向量类似共起点的基底向量的平均数，类比等差中项2A=a+b，联想中点坐标公式。

47.立体几何证明点线面位置关系的要点是:题目中缺线补线，缺面补面，缺点补点，缺啥补啥。这样的认知水平属于层级水平③。

比如，到空间四边形四个顶点距离相等的平面一共有七个。除了三点共面，还要考虑异面直线。

常规思维，属于层级水平②，立体几何的斜坡面问题总要联系划归到纵横截面，大多数数量关系都要压缩到地平面上。通常利用直角三角形串联纵横斜。比如，高一最开始的棱台斜高与高的关系。初中平面

几何经常需要构造辅助线，高中立体几何经常需要构造辅助面，通过在辅助面上平移构造平行四边形或者中心投影出现中位线来论证线面平行。

48.平时画正方体、正四棱锥等等最好建立空间坐标系，准确使用斜二测画法。与球体有关的题联系地理地球的纬线等形象想象。属于层级水平③，现实是学生不太会画出这类图形。尤其是，看着45º、135º的拐角，意识到是垂直关系。要求长方体体对角线长，放进以底面对角线和高为直角边的直角三角形里，使用两次勾股定理。

49.涉及垂直证明题时，始终找旗杆，要证a⊥b,往往转化为证明b⊥a,再转化为b垂直a所在平面，再循环使用到旗杆垂直地面，得证。其本质就是三垂线定理及其逆定理。绝对属于层级水平③，高难度的接二连三的垂直转换。

总之，证明垂直时，始终要明确研究对象是那条直线，围绕研究对象这一个中心，也就是说，始终把研究对象看作主语。比如，拖把杆垂直于拖把头的例子告诉我们，垂直于一条直线，就会垂直一系列平行线，只不过是异面垂直，也就是没有垂足的垂直。线的垂直分有垂足和无垂足的垂直。不能看不见垂足就说不垂直。

经典例子：正方体的体对角线垂直于相交三条面对角线形成的等边三角形所在平面。

50.三视图可以尝试组装到三维坐标系里，注意横竖不变、纵减半。先放正视图，再摆放侧视图，逼出俯视图，或者先放俯视图，尝试组装。类似盖房子。层级水平③，有考古弥补陶罐想象加推理的成分。

51.扇形围成圆锥，母线是原来扇形的半径；圆锥底面的周长来源于扇形的弧。圆锥的高不在侧面展开图扇形里。而是和母线以及底面半径三者形成直角三角形。学生自己动手用扇形卷一个圆锥，画出直观图，大胆假设需要的量：R，l；c，r，h。属于层级水平②，通过数学实验可以很快一一对应的。

52.立体几何证明线面平行，一般来说，转而去证线线平行，无非是在斜坡面内找到面外线的平行线，不是构造平行四边形就是中位线；否则，升一级，转而构造平行面，去证面面平行。属于层级水平①，大多数学生觉得可以习得。

53.抱有六步书写习惯和一元化的函数思想，是高中数学通用的代数化思维表达方式，它的背后暗藏着几何意义的检验,先知先觉。属于层级水平②，大同的解题建模套路，伴随三年所有内容的解题过程同一的步骤，最终解除解题格式的疑惑。

e.g:垂直于x轴的直线，代表就是抛物线的对称轴

，垂直于y轴的代表y＝1。垂直于y轴的

直线上所有点的共同特征就是纵坐标相同，海拔高度一样，所以，x轴这条直线记作y＝0；y轴上的所有的点的横坐标都是x＝0，（y∈R）。

总之，垂直于y轴的直线方程就记作y＝c；垂直于x轴的直线方程记作x＝x。属于层级水平②，归类找规律。

54.解析几何的核心在于任何一点都要试图看作公共点，往往是直线与圆锥曲线的“交点”或切点。这样的话，就可以依靠联立方程组的方式实现一点化、一元化的函数方程的思想功能。思维层次高度提炼到统一的境界，属于层级水平③。

举个例子，一旦涉及到截距，首先要想到会不会为0。另外，有学生问截距是什么?举一个例子，就是初中学的y＝kx+b的b。其实，就是直线y＝kx+b与y轴这条直线x＝0的交点的纵坐标，也就是令x＝0，得y＝b。那么，令y＝0，得x的值就是横截距。

事实上，许多有关距离的问题倾向于几何办法，选用点到直线的距离公式，计算量远低于弦长公式。

55.解析几何的通法是笛卡尔坐标法

比如，点斜式直线方程的默写，是文科生普遍性的盲区，不知道(x,y)是形成直线的动点。主要还是要告诉学生点动成线的过程,抓住斜率公式，去分母写出直线的点斜式方程。属于层级水平②，高二时要能默写出点斜式方程

)。但直到高三，依然有很多吃老本，按初中层级水平①设为y＝kx＋b。

求函数在某一点处的切线方程，是文科生的一大难点，属于层级水平③。首先要明白点斜式直线方程的各就各位，其次要知道导数就是切线的斜率，导数值就是切线在某处的切线的斜率。比如，

。一个 、另一个

学生感到认知困难。

56.关于直线的斜率

层级水平①：知道y＝kx＋b中x的系数是斜率，

。

层级水平②：Ax+By+C=0,k=－A：B可以快速求出斜率。A、B同号，k＜0,直线l下坡子。一看A、B异号，立刻断定直线是上坡子。

层级水平③：顺便说一下，有关斜率变化范围的题，主要还是要清楚

的图

像。

57.用公式特殊情况同构记忆一般情况

让记忆有规律可循。e.g:

得

底

底 底，自己想想

=？

58.定积分

符号里的函数f(x)可以看作“子”函数，它是“父”函F(x)的导函数。即F′(x)＝f(x)，dx其实就是△x,表达了长方形的宽，其中f(x)表示长方形的高，∫暗示sum乘积和面积。这里的认知已经属于层级水平③。有象形的生活情境和对符号的演变。

59.数学运动变化的过程演变中，都是将两个动点转化成一个定，另外一个动的一元化思维模式。举一个例子，两个圆的位置关系，先令一个圆定大小位置，另外一个圆从外离到外切到相交、内切，直到内含，圆心距明显从大到小，竖式对齐圆⊙C1一一列举。数量关系逐步会清晰。另外，相交可构建三角形三边关系立刻发现。

60.圆的标准方程涉及到配方法，自给自足配方法，学生不按照你所教的套路来，思维定势难以打破。初中死记硬背的知识点，到了高三，胡思乱想，竟然加一次项的平方。所以说，第一印象很重要，良好的开端是成功的一半。层级水平②，自己动手丰衣足食。基本技能要熟练。

问他们为什么不用我教的自给自足配方法做，回答是麻烦得很，原来如此，不愿意程序化轨道化做题，喜欢口算、心算。小学思维。恰恰你嫌弃的麻烦处即是功夫。

阻拦学生能力的是，数形结合，该算的算不对，背过图硬算，看着图不敢大胆假设点的坐标，无法启动计算。其实，没有规矩不成方圆，使用圆规、直尺，往往可以实现数形结合，准确作图，答案昭然若揭。千万不要心算、口算，每一步都笔算。往往失误就在最后一个负号上。

61.椭圆、双曲线、抛物线定义中设

，

。如此巧设，便于找列解。

尤其是椭圆的绳和

，双曲线的绳差

，焦距2c关系的使用。其中，椭圆的形状告诉我们它的a是斜边；双曲线的样子暗示c是斜边。综合使用解决a，b问题，属于层级水平②。管理运作水平有章可循。抛物线定义一定要知道准线，抛物线

，（

）上任意一点P(x,y)到焦点F的点点距等于P到准线的点线距。再破解为

。

62.若a＞1，则双曲线

的离心率的取值范围。这道题很多学生问，一要知

，二要有函数思想，一般地，给出a＞1，就是告诉你，a是自变量。由定义域a＞1，按照解析式，一步步算出e的范围是

。同理，大家自己推导椭圆离心率平方公式（

推演较多步的内容。

63.涉及到概率统计的小数换算成百分数

基本上就对它有一定的感觉了。比如相关系数R²为0.98，意思就是两个随机变量相关程度接近98％.p（k²＞k。）＝0.05，意思就是犯错的概率不超过5％，间接说明，有95％以上的可能相关。经过如此提示，降为层级水平①。

64.众数在频率分布直方图最高楼房地基最中间的地上x坐标轴上的那个地点的横坐标；中位数是左右面积各占50%的分界线与x轴的交点的横坐标。层级水平②。

65.加权平均数隶属于层级水平②，从举例子求十个数“1、2、2、3、3、3、4、4、4”平均数的简便计算发现，频数起着权衡数据的作用，称之为权数或权重，平均数是特殊的加权平均数。延伸到数学期望

，加权平均数其实就是数学期望

。归属为层级水平③

66.复数学习中，i²＝－1是层级水平①，是学生必须知道的内容。

在复平面的哪个位置？要懂得，学习了复数的代数表示

,(

),就要明确实部在前当x，虚部在后做y的值，对应复平面内唯一点

。

所以，

，因此，i的坐标是

，在哪儿你不知道？这已经属于层级水平②。推广到│i│＝1这个层面，已经可以归属为层级水平③了。

,一定是正数；项系指通项这个67.二项式定理项系与二系的区别与联系：二系指通项里的组合数

）。属于层级水平②，运算单项式字母前所有的数字部分，可正可负，其中含有二系。

（未完待续。。。）