阅读与思考 集合中元素的个数课件配套优秀获奖教案

《集合中元素的个数》教学设计

南和一中

李娟

一

教材分析

1

本节课的地位和作用

本节课是人教A版必修1第一章第一节《集合》后面的一个阅读与思考的内容。主要介绍如何计算若干个有限集合并集中的元素个数。计算有限集中元素的个数问题，在实际生活中应用非常广泛，特别是在各级各类的数学竞赛以及以后要学习的排列，组合和概率章节中要经常用到。因此，了解掌握这部分内容很有必要。而且通过对无限集合中元素个数的讨论，还可以向同学们渗透数学文化，以提高学生学习数学的兴趣。

2

本节内容分析

本节课主要介绍并集中元素个数的求法，首先从生活中最简单的例子入手，求两个集合并集中元素的个数，再求三个集合并集中元素的个数，然后推广到n个集合并集中元素的个数，从而总结出一般的公式，最后，介绍如何比较两个无限集合中元素的个数大小，向学生渗透一部分数学文化的知识。

二

学情分析

学生在前面已经学习了集合的概念，集合中元素的特征，以及集合之间的关系和运算，对集合已经有了一定的基础，所以可以利用所学的集合知识来解决一些实际问题，使他们体会到数学是有用的。

三

教学目标分析

1 知识与技能目标：通过集合中元素的个数问题的研究，探求有限集中元素的个数之间的关系，了解无限集中如何比较元素的个数大小。

2

过程与方法目标：能多方面，多角度，多层面来探究问题，运用知识来解决问题，培养学生的发散思维和创新思维能力。

3

情感态度与价值观目标：激发学生的学习热情和学习兴趣，享受探索成功的乐趣，培养科学态度与科学精神。

四

教学重难点分析

重点：有限集合中元素个数间的关系。

难点：并集中元素个数的公式的推导。

五

教学过程分析

（1）

引言

一年一度的某中学艺术节又要到来了。本次艺术节共设三项：书画比赛、歌咏比赛和围棋比赛。初二·三班的文艺委员小红对本班参赛人员进行统计，结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25人，但使小红百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。

在前面我们学习了集合的概念和集合中元素的特征，按集合中元素的个数可把集合分为有限集和无限集，在有限集中，我们把集合中元素的个数用card来表示，比如Aa,b,c,则card(A)3.

设计意图：明确集合中元素个数的表示方法和符号。

（2）教师出示例题

学校小卖部进了两次货，第一次进的货有圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面共4种，问两次一共进了几种货？

用集合A表示第一次进货的品种，集合B表示第二次进货的品种，则有

A={圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，

B={圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，

显然card(A)=6,card(B)=4,求两次一共进了几次货？这个问题实际上求card(AB),显然card(AB)10是错误的，那么card(AB)应该等于几呢？

设计意图：从实际问题出发，引起学生的认知冲突，为后面内容做好铺垫。

（3）学生很容易发现，card(AB)应该等于的是8，因为集合A和集合B有两个相同的品种，即card(AB)2,那么同学们能否探究一下card(A),card(B),card(AB),card(AB)之间的关系？

设计意图：让学生自己发现规律，经历发现问题并解决问题的过程。

（4）画出Venn图

橡皮

钢笔

火腿肠

圆珠笔

笔记本

铅笔

方便面

汽水

由Venn图可以得出：

car(dAB)car(dA)car(dB)car(dAB)

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的人数各是多少？

例3. 在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？

设计意图：通过几个例题，使学生进一步加深对公式的理解和应用。

（5）三个集合并集中元素的个数

例4.

某学校高一年级共有480名学生，其中报名参加学校文学社的有100人，参加英语角的有80人，参加数学兴趣班的有50人，既参加文学社又参加英语角的有60人，既参加文学社又参加数学兴趣班的有30人，既参加英语角又参加数学兴趣班的有20人，这三项都参加的有10人，问，还有多少人上述三项都没有参加？

设集合A={参加文学社的学生}，集合B={参加英语角的学生}，集合C={参加数学兴趣班的学生}，

由题意得：card(A)100,card(B)80，card(C)60card(AB)60,card(AC)30,card(BC)20,card(ABC)10求：card(ABC)

设计意图：让学生小组合作，共同讨论，得出公式：

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）

（6）猜想四个集合并集中元素个数并推广到n个集合的并集中元素的个数

card（A∪B∪C∪D）=card（A）+card（B）+card（C）+card（D）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）-card（A∩D）+card（A∩B∩C）+card（A∩B∩D）+card（B∩C∩D）-card（A∩B∩C∩D）

car(dA1A2An)car(dA1)car(dAn)car(dA1A2)car(dAn1An)car(dA1A2A3)(1)n1car(dA1A2An)

（7）提出新问题：有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，如

A={ 1，

2，

3，

4，

⋯，n，⋯}，B={ 2，

4，6，

8，

⋯，2n，⋯}，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?

（8）针对上面的问题，学生的疑惑主要有：

问题1：上述两集合中元素个数是不是相同?

问题2：集合B是不是集合A的真子集?

问题3：若B是

A的真子集，集合B与集合A中元素个数又怎么比较？

问题4：平时同学们一常常说：“N 是Z的真子集

．因为Z中的元素个数比N中的元素个数多．”这又怎么解释呢?

设计意图：提出新问题，勾起学生的好奇心，进一步探究如何比较两个无限集中元素的多少。

（9）要想解决这个问题，我们首先要了解一个人，这个人就是德国著名的数学家康托尔。

关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。集合论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题，称之为集的势论．

为便于解决上述问题，先引进一个概念：

设

A，B为两个集合，若在这两个集合之间存在着一一对应的关系：即集合

A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应

，集合B中的每一个元素都有集合

A中的惟一的一个元素与之对应

) ，则称A与B是对等的

记作：A～B，也称集合A,B等势。康托尔也提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个

数，把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，即称为等势．这与传

统观念

“

全体大于部分”相矛

盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．

那么由“

等势”的概念

，可以回答问题1 了。集合

={ l，

2，

3，

4，⋯}与集合

B={ 2，

4，6，

8，⋯}是可以找到一个一一对应的．集合

中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与

之对应，集合B中的每一个元素都有集合A 中的惟

一

的一个元素与之对应

，所以两个集合中的元素个

数是相同的，即等势．

而问题2，从子集的定义就可知道，集

合

B是集合A 的真子集．

问题3的答案是：B是

A真子集，集

合

A与集合

B元素个数相同．

问题4所提到的：“N是Z的真子集，因为

Z中

的元素个数比N中的元素个数多．”这句话前半部分

是正确的，学习了“

势”概念后，可以知道

后半句话是不确切的．因此，教师也不能用有限集

的语言或理论来描述无限集这一特性．故集合

A和

集合

B是等势的，不存在哪个集合元素多的问题．

从上述思考题．观察到无限集与其真子集之间

是可以等势的。但这在有限集合是绝对不行的．这也是有限集合和无限集合的根本差别．

．

设计意图：其实，要回答无限集中元素个数比较的问题

，一定程度上超出了

《课标》的要求．但作为激发学生学习数学的兴趣，还是有一定的引导作用．增长了学生学习数学的兴趣，体会了无限集的一点奥妙．正如法国数学家、天文学家拉普拉斯说的：

“

Wh a t

we know

is not much．

W hat we do not know

is

immense ．

”(我们知道的是很少的，我们不知道的是无限的．

六

板书设计

集合中元素的个数

1

card(AB)

例1 2

card(ABC)

例2 3

card(A1A2Ai)

例3