阅读与思考 集合中元素的个数教学评价实录

第一章

1.1

1.1.1 基础巩固

一、选择题

1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是(

) A．②

C．②③

[答案]

C [解析]

高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C. 2．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝2＋3，则a与集合A的关系是(

) A．a∈A

C．a＝A

[答案]

A [解析]

由于2＋3＜10，所以a∈A. 3．(2015·山东临沂检测)集合{x∈N*|x－2＜3}的另一种表示形式是(

) A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} [答案]

B [解析]

由x－2＜3，得x＜5，又x∈N*，所以x＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．

3x＋y＝24．方程组的解集是(

) 2x－3y＝27x＝3A.

y＝－7B．③

D．①②③

B．a∉A

D．{a}∈A

B．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}

B．{x，y|x＝3且y＝－7} C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7} [答案]

D 3x＋y＝2x＝3[解析]

解方程组得，

2x－3y＝27y＝－7

用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(

)

A．锐角三角形

C．钝角三角形

[答案]

D B．直角三角形

D．等腰三角形

[解析]

由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D. 6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(

) A．2 C．0或3 [答案]

B [解析]

因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B. 二、填空题

7．用符号∈与∉填空：

(1)0________N*；3________Z；

0________N；(－1)0________N*；

43＋2________Q；________Q. 3(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；

(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．

(3)若a2＝3，则a________R，若a2＝－1，则a________R. [答案]

(1)∉

∉

∈

∈

∉

∈

(2)∈

∉

∈

∉

(3)∈

∉

[解析]

(1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．

b8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b，则b－a＝________. B．3 D．0或2或3 [答案]

2 b[解析]

显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2. a三、解答题

9．已知集合A含有a－2,2a2＋5a,12三个元素，且－3∈A，求a的值．

[解析]

∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a＝－1舍去．

33当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－. 22[注意]

(1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a－2,2a2＋5a,12的关系分类

，即可做到不重不漏．

(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．

10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A是单元素集合，求集合A；

(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

[分析]

将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．

2[解析]

(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题3意；

当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，

94则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．

83294综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．

3832(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；

3当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，

9则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0. 89综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤. 8[点评]

“a＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．

能力提升

一、选择题

1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是(

) A．{x|x＝1} C．{1} [答案]

B B．{x|x2＝1} D．{y|(y－1)2＝0}

[解析]

{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B. 2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；

⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．

2x＋y＝0，能表示方程组的解集的是(

) x－y＋3＝0

A．①②③④⑤⑥

C．②⑤

[答案]

C B．②③④⑤

D．②⑤⑥

2x＋y＝0，x＝－1，[解析]

方程组的解是故选C. x－y＋3＝0y＝2.

xyz|xyz|3．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列|x||y||z|xyz判断正确的是(

) A．0∉M

C．－4∉M

[答案]

D [解析]

当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D. 4．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为(

) A．3 C．5 [答案]

B [解析]

当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．

二、填空题

5．已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________．

[答案]

{k|5＜k≤6} [解析]

x只能取3,4,5，故5＜k≤6. 36．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}＝________. 3－x[答案]

{－3，－1,1,3} B．4 D．6 B．2∈M

D．4∈M

3[解析]

∵∈Z，x∈Z，

3－x∴3－x为3的因数．

∴3－x＝±1，或3－x＝±3. ∴33＝±3，或＝±1. 3－x3－x∴－3，－1,1,3满足题意．

三、解答题

1＋a17．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．

31－a1＋a1＋a1[分析]

已知a∈A，∈A，将a＝代入即可求得集合中的另一个元素，依次，31－a1－a可得集合中的其他元素．

11＋31＋21[解析]

∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A，

311－21－311－211－31∴＝－∈A，∴＝∈A. 2131＋31＋211故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－. 328．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．

(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；

(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．

1[解析]

(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．

211(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即aa111a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．

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