阅读与思考 对数的发明教案教学设计导入设计

教学设计说明

《对数的发明》

宁波市咸祥中学

乐海霞

一、教学内容解析

本课题来自人教A版必修1中的2.1.1的《阅读与思考》，教材安排在高一年级，并在指数内容之后，定义采用欧拉提出的从指数对数关系式出发的形式化定义，但历史上对数的发明却先于指数。在以往的教学中，教师和学生在对数概念的引入中也多少感到不适。对比以往的教材，可以看到，对数内容在中学阶段逐渐弱化，曾经颇为好用的对数表也找不到一丝踪影。尽管如此，我们还是有必要学习《对数的发明》，让学生体会对数简化运算的功能，并且感受数学是不断变化的；学生可以从中体会数学人文的一面；对比历史与现代可以展示现代科技的价值，提供探索的机会；过去发展的障碍可以辅助学生解决自己遇到的困难。

二、教学目标设置

1.知识与技能

（1）理解对数简化运算的作用，体会其中变“乘除”为“加减”的思想，了解对数最初发展的动力。

（2）介绍对数发展历程，体会数学是一个不断发展变化的过程。

2.过程与方法

（1）通过学生课前查阅相关资料，培养学生阅读与思考的能力。

（2）通过尝试运算、阅读成果展示，让学生走进历史经历探究的过程，让学生体会社会生产、科学技术的需要是数学发展的动力。

3.情感态度与价值观

（1）通过对数发明的阅读与思考，让学生体会数学家研究问题的不易，培养学生在攻克难关时要有锲而不舍的精神和克服困难的勇气。

（2）对比历史与现代，体会现代科技的价值，让学生体会知识就是力量。

（3）通过阅读与思考，走进历史，感受数学家的努力与追求，培养学生的人文素养。

三、学生学情分析

知识结构：学生已经学习过指数与指数幂的运算，掌握有理数指数幂的运算性质，可以把同底的两指数相乘，理解成指数幂相加运算。学习过对数运算性质，把真数相乘问题转化为对数相加，真数相除转化为对数相减。

能力结构：学生已经体验过指数运算和对数运算，同时也具备查阅资料的能力和阅读能力，在对知识的必要性和合理性分析上，需要老师一定的指导。

四、教学策略分析

本节课采用的是问题启发和讲授法的教学方式。为了让学生感受数学的故事性，本节课具体采用的是课前学生查阅资料，课堂学生进行展示，师生共同进行合作探究的教学方式。学生在之前已经学习过指数运算和对数运算，对于对数的相关概念、性质并不陌生，在课前

安排学生进行相关资料的查阅与思考，由学生自主探究和发现，符合学生的最近发展区。重点在于理解对数运算的简化作用，体会其中变“乘除”为“加减”的思想，了解对数最初发展的动力，体会数学是一个不断发展变化的过程。

五、教学过程

【教学目标】

1.理解对数简化运算的作用，体会其中变“乘除”为“加减”的思想，了解对数最初发展的动力。

2.介绍对数发展历程，体会数学是一个不断发展变化的过程。

3.通过尝试运算、阅读成果展示，让学生走进历史经历探究的过程，让学生体会社会生产、科学技术的需要是数学发展的动力。

【教学重点】理解对数简化运算的作用，体会其中变“乘除”为“加减”的思想，了解对数最初发展的动力。

【教学难点】纳皮尔用几何术语阐述对数方法。

【教学过程】

（一）情境创设

师：我们一起来欣赏一段视频，感受什么是《最强大脑》。

（播放视频）

生：表现出惊讶、佩服的表情。

师：他是怎么做到的？真的是不可思议，难以置信！但是我想告诉同学们，这节课以后，你也可以做到！

【设计意图】向学生展示数学的强大，设置悬念，激发学生的好奇心和求知欲。

师：为了更好地理解历史，现在我们穿越到没有计算器的古代，来看这个问题：

（二）问题引入

计算：（1）0.17360.6691

（2）573.56.4270.3255

【设计意图】让学生体验大数乘除的繁杂性，为引入对数概念埋下伏笔。

（三）新课推进

阅读与思考一

初露端倪的加减术（对数发明的背景）

师：如何来解决这么繁杂的计算呢？

师：请第一大组同学来分享你的阅读与思考。

生：在16世纪中叶，因为哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时

的热门学科，可是由于当时常亮数学的局限性，天文学家不得不花费大量的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。再加上欧洲人热衷于地理探险和海上贸易，需要更为准确的天文知识，对计算速度和准确性的要求与日俱增，人们希望将乘除法归结为简单的加减法。德国数学家约翰·维尔纳首先尝试三角函数来满足实际的需要，即：

2sinAsinBcosABcosAB

2sinAcosBsinABsinAB

2cosAcosBcosABcosAB

2cosAsinBsinABsinAB

通过查三角函数表就可以得到简单的加减运算。

师：谢谢，准备得非常充分。下面让我们一起来尝试一下维尔纳的研究成果。

师生共同尝试，并发现新的问题：除法不能用此方法解决。

【设计意图】让学生体验运算的简化，感受到数学家对简化计算的巨大贡献，增强知识的联系，使学生感受到中学数学知识点的相互联系，并非独立的。同时，理解事物的发展都是为了解决现实的问题。

师：虽然与直接乘法相比，运算有所简化，但是这样做还是太繁杂，况且还不能直接应用于除法、开方，因此，为了解决这个问题，寻找更好的计算迫在眉睫。

阅读与思考二

斯蒂弗尔的遗憾（对数发明的前奏）

师：请同学们来看两组数列，你能发现两个数列之间有什么规律吗？

…

…

生：

师：请第二大组同学来分享你的阅读与思考。

生：斯蒂弗尔是德国哥尼斯堡大学的数学讲师，耶拿大学的数学教授。他发现，如果要计算1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 64 6 128 256 512 1024 2048 4096 8192 …

7 8 9 10 11 12 13 …

16256的话，可以用下面的巧妙方法。先找到16的代言人4，再找到256的代言人8，然后把4和8相加，就得到了16256的新代言人12，最后找到12对应的新数4096。这个4096就是16256的答案。

师：谢谢，这使得乘法变得非常简单。与三角函数表相比，同学们还有什么新的发现吗？

生：可以做除法。举例来说，在计算819632的时候，只要用他们各自的代言人13和5相减，就得到新代言人8，再由8找到对应的新原数256就是答案。

师：非常好！实际上，斯蒂弗尔已经掌握了对数运算法则，因为他所谓的代言人，本质上是原数以2为底的对数。

生：老师，我有新的问题，那如果要计算573.56.4270.3255呢？

师：遗憾的是，在斯蒂弗尔的时代，还没有分数指数的概念。那么不是数列中的数要进行运算时又该怎么办呢？他们没有代言人呀！这一连串问题把斯蒂弗尔弄得焦头烂额，他只好说：“这个问题太狭窄了，所以不值得研究。”于是，他也就把发明对数的机会留给了比他更具慧眼的来者。

【设计意图】感受数学家的创新与努力，同时让学生感受到历史上数学家也同样遭遇困惑、挫折或失败的经历，以避免学生产生一种错觉——数学家几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难。培养学生在攻克难关时要有锲而不舍的精神和克服困难的勇气。

探究一

站在巨人的肩膀上（对数的发明）

师：这个后来者就是苏格兰的数学家：纳皮尔。纳皮尔是一个天文爱好者，他大约从40左右开始潜心研究对数以简化天文计算，在加减法的启发下，借助运动学，他给出了对数的构想：

如图：

师：假设有两个质点分别沿着线段AZ和射线AZ，以同样的初速度运动，其中沿AZ运动的质点Q的速度保持不变，而沿AZ运动的质点P的速度以如下方式变化：其路径上任一点的速度与它尚未经过的距离BZ成正比。显然，BZ是一个无穷递减等比数列，而AB'''''''是一个无穷递增等差数列。如果当Q位于B时，P位于B；当Q位于C时，P位于C；当Q位于D时，P位于D……那么：AQ就是PZ的对数。同样AB就是BZ的对数，AC'''''''''就是CZ的对数，AD就是DZ的对数……纳皮尔把BZ看成斯蒂弗尔所说的“原数”，把

A'B'看成是“原数”

BZ的代言人。对数（logarithm）一词有两个希腊词汇“比率”和“数”组合而成，并于1614年（64岁）出版了200多页的《奇妙的对数定律说明书》，其中含37页的解释和90页的对数表。

师：这个发明与前面的巨人相比，有什么价值呢？又会产生什么新的问题吗？

（学生分组讨论）

生：能解决乘法、除法的问题，而且可以是其他数，只要查阅对数表就能得到。

师：非常好！由数列定义的对数是离散的，而纳皮尔定义的对数是连续的。

生：可是这个底数是怎么确定？这个底数的形式好像有点麻烦，为什么会出来10的7次方？

师：好。发现得非常到位。纳皮尔的主要目的是减少三角运算中的繁琐劳动，所以他根据实际需要把单位圆的半径分成了10份——因为当时最好的正弦表有7为数字，具体等到吗学了微积分以后再作进一步的探讨。

师：跟我们一样，科学家对此的追求是无止境的，我们有请第三大组来分享你们的精彩故事。

【设计意图】介绍对数的定义后，惊叹纳皮尔的聪明与智慧，激发学生了解数学史的兴趣。

阅读与思考三

激情相约爱丁堡（对数的发展）

生：一位伦敦的数学教授看到纳皮尔的这一成果后，立即就看出了它的重大价值，他说：“纳皮尔用他新颖而巧妙的对数使我能够用脑和手工作。我从未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书了，我希望今年夏天就能见到他。”于是，他不辞辛劳坐马车从伦敦出发，专程到爱丁堡去会见这位他无比崇敬的、天才的苏格兰贵族。这位教授，就是伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯，这一去，布里格斯在纳皮尔家里住了一个月之久。他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是就与纳皮尔商定：使1的对数为0,10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数。并在1624年公布了以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数。

师：谢谢，非常精彩。使得我们的运算更简便。

师：通过对数表查的：lg57353.7585,lg64273.8080,lg32553.5125，那么我们是否可以计算573.56.4270.3255？

学生讨论，得出答案

生：2.75850.8080(0.4875)4.054，573.56.4270.3255104.054711324

师：难怪法国著名天文学家、数学家拉普拉斯说：“可以把几个月所做的计算减少到几天完

成，由于缩短了计算工作的时间，我们可以说这种方法使天文学家的寿命被延长了一倍。”更夸张的恐怕要数大名鼎鼎的伽利略的豪言了：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙！”为了纪念对数这一伟大发明，尼加拉瓜在1971年发行了一套主题是“10个最重要的数学公式”的纪念邮票，对数公式就在第4枚上面，邮票背面还用西班牙文对公式的重要性做了家要说明。

师：实际上573.56.4270.325511323，因为精确度有限，所以是一个近似值。在科技的不断发展中，虽然对数表已经让位给了计算机，但是对数的思想方法仍然值得我们借鉴。所以，从对数的发明历程、发展过程我们可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力，我们应该积极对待学习、生活中遇到的问题与困难。或许我们的一个努力，一份坚持，能够获得更大的收获。

【设计意图】从对数的发明历程、发展过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力，增强学生学好数学的动力与信念，激发学生为建设国家、推动数学发展的美好愿望。

（四）成果运用

探究二

揭秘《最强大脑》

师：有了知识工具以后，我们来揭秘视频中的《最强大脑》

部分数的常用对数近似值

2 0.30 3 0.48 6 0.78 7 0.85 8 0.90 9 0.95 11 1.04 12 1.08 13 1.11 14 1.15 15 1.18 16 1.20 17 1.23 18 1.26 19 1.28 15.=？

1415161.071.04,1.141.15，由于所以，16位数字开14次方根应该是12或13，1414lg16位数字开14次方=而题板中的数字是1开头的，所以是12。

探究练习：20位数开60次方。（小组探究）

生：2

师：事实上，我们只需要记住7个红色字体，速算大师是倒背如流的，其实你也可以的！

【设计意图】让学生通过体验《最强大脑》，感受对数运算的本质是运算的降级，感受知识的力量，提升学习成就感。从结构上安排，以与开头呼应。

（五）拓展阅读《迟到的爱——对数在中国》

师：其实，对数通过传教士从西方传入中国，中国数学家不但仿置了计算尺，还有深入的研究，比如清代数学家戴煦的《对数简法》、邹伯奇的《对数尺记》等。所以，有中国学者的研究指出，“其实对数思想在我国古代就有了”，但却没能开花结果，为什么中国的对数幼芽在开花之前就枯萎了呢？值得我们课后作进一步的查阅和学习。

师：由此可见，在世界的各个角落，先贤们在跨过“水千条山万座”的时候，在黑暗中探索了不知多少岁月，作出了长期而又艰苦的努力！值得我们致敬，值得我们不断学习！

【设计意图】简单引出中国的对数发展史，增强民族责任感，同时设置悬念并，激发学生作进一步学习的兴趣。引申到人生的一个道理：前进的道路总是不那么平坦，但只有经历过低谷的人才能领略顶峰的风景。培养学生不怕困难、勇于探索的精神。

（五）课堂小结

师：请同学们谈谈：本节课以后你有什么收获？

生：了解了对数的发明、发展过程。体会到科学家们为了人类的进步付出了长期而又艰苦的努力。

生：直到了对数发明的本质其实就是为了简化运算，这对我学习生活也非常有帮助。遇到困难，努力想办法，把复杂的问题简单化。

生：我们要在生活中不断地尝试，不要怕失败，发现问题再根据情况加以调整、完善。

师：大家都说得很好。希望大家学习科学家执着、不怕困难、勇于挑战的精神，站在巨人的肩膀上，不懈努力，取得更大的进步。

【设计意图】让学生谈谈体会，在感情上得以升华。让学生体会到科学家为人类所作的贡献及背后所付出的努力。希望学生们也能站在巨人的肩膀上，不懈努力，取得更大的进步。