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习题2.1优秀教学设计｜教案在线预览

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关键词：习题2.1优秀教学设计

正文

§2.6

对数与对数函数

最新考纲

考情考向分析

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与11过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的对数函数的图象．

性质，题型一般为选择、填空题，233.体会对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.

中低档难度.

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logcblogab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

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3．对数函数的图象与性质

y＝logax a>1

定义域

值域

(1)(0，＋∞) (2)R

(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 性

质

(4)当x>1时，y>0；当0

(6)在(0，＋∞)上是增函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

知识拓展

1．换底公式的两个重要结论

1(1)logab＝；

logbannlogmb(2)＝logb. a

(5)当x>1时，y<0；当00

(7)在(0，＋∞)上是减函数

ma其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(

) (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(

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1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(

√

) 1－x1，－1，函数图象只在(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，a第一、四象限．(

√

) 题组二

教材改编

422．[P74T3]lg－lg83＋lg75＝________. 71答案

2121解析

原式＝lg4＋lg2－lg7－lg8＋lg7＋lg5 23211＝2lg2＋(lg2＋lg5)－2lg2＝. 223．[P82A组T6]已知a＝2答案

c>a>b

解析

∵0

3321＝log23>1. 3∴c>a>b. 4．[P74A组T7]函数y＝log2(2x1)的定义域是______．

31答案

2，1

解析

由log2(2x1)≥0，得0<2x－1≤1. 31∴

易错自纠

5．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(

) A．d＝ac

C．c＝ad

答案

B 6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(

www.ziyuanku.com B．a＝cd

D．d＝a＋c

A．a>1，c>1 C．01 答案

D 解析

由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴00且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．

430，∪(1，＋∞) 答案

433解析

当0

443当a>1时，loga1. 430，∪(1，＋∞)．

∴实数a的取值范围是4B．a>1,0

题型一

对数的运算

111．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(

) abA.10 C．20 答案

A 解析

由已知，得a＝log2m，b＝log5m，

1111则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m解得m＝10. 12．计算：lg 4－lg25÷1002＝________. 1B．10 D．100 答案

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解析

原式＝(lg2－lg5)×100＝lg102×10＝－2×10＝－20. －－22121＝lg22×52×10 1－log632＋log62·log6183．计算：＝________. log64答案

1 解析

原式

61－2log63＋log632＋log6·log66×33＝

log641－2log63＋log632＋1－log632＝

log6421－log63log66－log63log62＝＝＝＝1. 2log62log62log62思维升华对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

题型二

对数函数的图象及应用

典例

(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

答案

B 1x－解析

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x，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B. 1(2)当0

) 2A.0，3

2

2B.2

2，1C．(1，2)

答案

B D．(2，2) 110

由题意得，当0

1112，2.把点，2代入y＝logax，得a＝.又当x＝时，42＝2，即函数y＝4x的图象过点2222若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需当a>1时，不符合题意，舍去．

所以实数a的取值范围是引申探究

10，上有解，则实数a的取值范围为__________．

若本例(2)变为方程4x＝logax在22答案

0，

2110，上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，上有交点，解析

若方程4x＝logax在

220

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

跟踪训练

(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(

) 2. 2，12

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答案

C 解析

函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C. log2x，x>0，(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一3，x≤0，

个实根，则实数a的取值范围是________．

答案

(1，＋∞) 解析

如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．

题型三

对数函数的性质及应用

命题点1

对数函数的单调性

典例

(1)若a>b>0,0

) A．logac

C．ac

答案

B 解析

当0

∴logca

D．ca>cb

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实数a的取值范围是(

) A．(－∞，4)

C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)

答案

D 解析

由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，

a－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故2选D. 命题点2

和对数函数有关的复合函数

典例已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解

(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，

当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

3∴3－2a>0.∴a<. 231，. 又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪2(2)假设存在这样的实数a. t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．

∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，

3－2a>0，∴即loga3－a＝1，B．(－4,4] D．[－4,4)

3a＝2.3a<，2

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华

(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．

(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．

跟踪训练

(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(

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A．a>c>b

C．c>b>a

答案

D B．b>c>a

D．c>a>b

解析

a＝log32log22＝1，所以c最大．

11由1，即a>b，

log23log25所以c>a>b. a1－x的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．

(2)已知函数f(x)＝ln2答案

2 aa解析

由题意，得不等式1－x>0的解集是(1，＋∞)，由1－x>0，可得2x>a，故x>log2a，22由log2a＝1，

得a＝2.

比较指数式、对数式的大小

考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．

(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 典例

(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(

) A．c

C．b

B．a

D．a

解析

根据幂函数y＝x0.5的单调性，

可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b

根据对数函数y＝log0.3x的单调性，

可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1. 所以b

C (2)(2017·新乡二模)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(

) A．a

C．c

B．c

D．b

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解析

∵a＝6>1，b＝log0.40.5∈(0,1)，

c＝log80.4<0，∴a>b>c.故选B. 答案

B (3)若实数a，b，c满足loga2

) A．a

C．c

B．b

D．a

0.4

解析

由loga2

答案

A (4)(2017·石家庄一模)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)1时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f4，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是(

) A．a>b>c

C．c>a>b

B．b>a>c

D．a>c>b

1解析

易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝fx＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，1f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f4＝f(4)，所以b>a>c. 答案

1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(

) A．b

C．c

答案

B 解析

∵a＝log37，∴12. ∵c＝0.83.1，∴0

) B．c

D．a

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答案

C 解析

因为0

所以lnsinx≤0，故选C. π－＋3．已知偶函数f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝2sinx，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f3f(4)等于(

) A．－3＋2 C．3 答案

D πππ－＝f＝2sin＝3，

解析

因为f333π－＋f(4)＝3＋2，故选D. f(4)＝log24＝2，所以f34．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普M通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(

)(参考数据：lg3≈0.48) NA．1033B．1053C．1073D．1093

答案

D M3361解析

由题意，lg＝lg80＝lg3361－lg1080

N10＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，

M故与最接近的是1093. N5．(2017·江西红色七校二模)已知函数f(x)＝ln503(a＋b)，则a2＋b2的最小值为(

) A．6B．8C．9D．12 答案

B 解析

∵f(x)＋f(e－x)＝2，

e2e2012e＝2012，

∴f＋f＋…＋f201320132013∴503(a＋b)＝2012，∴a＋b＝4. a＋b2∴a＋b≥＝8，

222B．1 D.3＋2 e2eex2012e＝，若f＋f＋…＋f201320132013e－x当且仅当a＝b＝2时取等号．

6．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(

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A．[1,2)

C．[1，＋∞)

答案

A B．[1,2]

D．[2，＋∞) 解析

令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，g1>0，2－a>0，1]上单调递减，则有即

a≥1，a≥1，

解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. 7．若a＝log43，则2a＋2a＝________. －答案

31解析

∵a＝log43＝log223＝log23＝log23，

2∴2a＋2a＝2－log23＋2－log23

＝3＋2＝3＋log233

343＝. 33－1x2，x≤1，8．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是__________．

1－log2x，x>1，

答案

[0，＋∞) 解析

当x≤1时，由21x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；

－1当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1. 2综上可知x≥0. 9．(2017·南昌模拟)设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a

答案

(0,1) 解析

由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点，

∴ab＝1,0

∴abc的取值范围是(0,1)．

10．函数f(x)＝log2x·log22x的最小值为________．

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1答案

－

4解析

f(x)＝log2x·log

2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R)，则原2x＝2log2x·211111t＋2－(t∈R)，故该函数的最小值为－.故f(x)的最小值为－. 函数可以化为y＝t(t＋1)＝24441211．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间则实数a的取值范围是________．

2，3上恒有f(x)>0，1答案

3，1

1244，上是减函数，所以loga－a>0，即0<－a<1，解析

当0

23331141又2×－a>0，解得

233312当a>1时，函数f(x)在区间2，3上是增函数，

1所以loga(1－a)>0，即1－a>1，且2×－a>0，

2解得a<0，且a<1，此时无解．

1综上所述，实数a的取值范围是3，1. 12．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1x. 2(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2. 解

(1)当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝log1(x)．

2因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以x<0时，f(x)＝log1(x)，

2所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝0，x＝0，log(x)，x<0.2122log1x，x>0，

(2)因为f(4)＝log14＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．

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又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以0<|x2－1|<4，解得－5

而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以－5

13．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(

) A．f(a＋1)>f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)

答案

A 解析

由已知得0f(2)．

1x14．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，2－m，则实数m的取值范围是(

) 1A.4，＋∞

1C.2，＋∞

答案

A 1解析

当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意可知原411条件等价于f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥，故选A. 44

x15．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0

1－x10，

答案

4ab解析

由题意可知ln＋ln＝0，

1－a1－babab即ln1－a×1－b＝0，从而×＝1，

1－a1－b化简得a＋b＝1，

11a－2＋，

故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－24又0

1111a－2＋<. ∴0

www.ziyuanku.com B．f(a＋1)

1－∞，

B.41－∞，－

D.2

x＋116．(2017·厦门月考)已知函数f(x)＝ln. x－1(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；

x＋1m(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围．

x－1x－17－xx＋1解

(1)由>0，解得x<－1或x>1，

x－1∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

f(－x)＝ln＝ln－x＋1x－1＝ln

－x－1x＋1x＋1－1＝－lnx＋1＝－f(x)，

x－1x－1x＋1∴f(x)＝ln是奇函数．

x－1x＋1x＋1mm(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，∴>>0，

x－1x－17－xx－1x－17－x∵x∈[2,6]，∴0

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，

∴当x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0

资料摘要

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