习题3.1ppt课件配套教案内容

函数与方程

函数的零点与方程的根

(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

知识点一

函数的零点

1．函数的零点

(1)定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

易误提醒

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

(x1,0)，(x2,0) 2

(x1,0)

1

无交点

0 1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．

2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．

所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

必记结论

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

[自测练习] 1x1．函数y＝|log2x|－2的零点个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．4

1x1x解析：令y＝|log2x|－2＝0，即|log2x|＝2，在同一坐标系下作1x出y＝|log2x|和y＝2的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．

答案：C 12．(2016·东城期末)函数f(x)＝e＋2x－2的零点所在的区间是x(

) 1A.0，2

C．(1,2)

x1B.2，1

D．(2,3) 11解析：∵f′(x)＝e＋2＞0，∴f(x)在R上单调递增，又f2＝e－1773，14＜3－4＜0，f(1)＝e－2＞0，∴零点在区间2上．

答案：B 知识点二

二分法

二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．

必备方法

用二分法求函数零点的方法

用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．

[自测练习] 3．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个

根所在的区间为(

)

x ex

x＋2

A.(1,2)

C．(－1,0)

－1

0

1

2

3 0.37

1

2.72

7.39

20.09 1

2

3

4

5 B．(0,1) D．(2,3) 解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．

答案：A、

考点一

判定函数零点所在区间|

61．已知函数f(x)＝x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) A．(0,1)

C．(2,4)

B．(1,2)

D．(4，＋∞) 3解析：因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝2－1log24＝－2<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．

答案

C 2．(2015·上海二模)若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(

) A．(1，＋∞)

B．(－∞，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－1,1) 解析：由题意知f(－1)f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1. 答案：C 3．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2) D．(3,4) 解析：法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，

∴f(1)·f(2)＜0，

∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，

∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．

法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．

答案：B

确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

考点二

判断函数零点个数|

2－|x|，x≤2，

(1)(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝函2x－2，x＞2，

数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(

) A．2

B．3 C．4

D．5 [解析]

分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点，故选A.

[答案]

A 1，

x＞0，sgn(x)＝0，

x＝0，－1，

x＜0，(2)已知符号函数

则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 [解析]

本题考查新定义创新能力、函数零点的个数．①当ln x＞0，即x＞1时，f(x)＝1－ln2

x，令1－ln2

x＝0，得x＝e，即此时有一个零点；②当ln x＝0，即x＝1时，f(x)＝－ln2

x，令－ln2

x＝0，得x＝1，此时也有一个零点；③当ln x＜0，即0＜x＜1时，f(x)＝－1－ln2

x，令－1－ln2

x＝0，无解，即当0＜x＜1时，函数f(x)＝sgn(ln

x)－ln2

x没有零点．综上，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2

x的零点个数为2.故选B. [答案]

B

函数零点个数的三种判断方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．(2015·辽宁三校联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，1h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(

) xA．a＜b＜c

C．c＜a＜b

B．c＜b＜a

D．b＜a＜c

x1解析：在同一坐标系下分别画出函数y＝2，y＝log3x，y＝－的x图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a＜b＜c.

答案：A

考点三

函数零点的应用|

x2－a，x＜1，

(2015·高考北京卷)设函数f(x)＝

4x－ax－2a，x≥1.

(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

[解析]

(1)若a＝1，则f(x)＝x2－1，x＜1，

4x－1x－2，x≥1.

作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1. (2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，a＜1≤2a所以a≥2；当a＜1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足1，2－a＞0

1解得2≤a＜1. 1综上，实数a的取值范围为2，1∪[2，＋∞)．

1[答案]

(1)－1

(2)[2，1)∪[2，＋∞)

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

2．已知f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k的取值范围是(

) A．(－1,0) 7B.－2，＋∞

7C.－∞，－2∪(－1，＋∞) 7D.－2，－1

解析：本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x∈(0,1]时，1f(x)＝1－x＋x＋kx＝kx＋1，此时方程f(x)＝0有一个零点－k；当x22∈(1,2)时，f(x)＝g(x)＝x2－1＋x2＋kx＝2x2＋kx－1.∵g(x)＝2x2＋kx－1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即g2＞0，10＜－k≤1，答案：D g1＜0，

7解得－2＜k＜－1，故选D.

7.转化法求解二次方程根的分布问题

【典例】

(2015·烟台莱州一中月考)若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是________．

[思路点拨]

由条件知，构造f(x)＝x2－2mx＋4问题转化为二次

函数f(x)的零点问题，数形结合写出条件可求解．

f1＜0，[解析]

令函数f(x)＝x－2mx＋4，由题意可知即f2＜0，2

m＞，1－2m＋4＜0，2所以4－4m＋4＜0，

5m＞2，

5即m＞2. 5[答案]

(2，＋∞) [方法点评]

二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合，从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．

[跟踪练习]

方程x2－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a的取值范围是________．

f1＜0，解析：设f(x)＝x－2ax＋4，则f6＜0，f8＞0.2f0＞0，

1017解得3＜a＜4.

1017答案：3，4



A组

考点能力演练

1．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5

x|的零点个数为(

)

A．4

C．8

B．5 D．10 解析：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．

答案：B 2．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

) A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 答案：A 3．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(

) A．g(a)＜0＜f(b)

C．0＜g(a)＜f(b)

B．f(b)＜0＜g(a) D．f(b)＜g(a)＜0 解析：依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0＜a＜1.g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1＜b＜2，于是有f(b)＞f(1)＞0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f(b)．选A.

答案：A 4．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(

) A．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)

10，B.2

D．(0,1) 解析：函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝x＋a(a>0且a≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象与y轴交于点(0,1)，而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.

答案：C 5．(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数a1a2a3f(x)＝＋＋的两个零点分别位于区间(

) x－λ1x－λ2x－λ3A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内

B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内

C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内

D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内

解析：本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x→λ1，f(x)→＋∞，x→λ2，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图

象连续，且x→λ2，f(x)→＋∞，x→λ3，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B. 答案：B 2x－x－1，x≥2或x≤－1，6．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的1，

－1

零点为________．

解析：求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，

x≥2或x≤－1，－1

x－x－1＝x1＝x.

解得x＝1＋2或x＝1. ∴g(x)的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，1 7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．

解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1＜0，

f(2.5)＝2.53－10＞0. 从而下一个有根的区间为(2,2.5)．

答案：(2,2.5) 8．已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________. 解析：∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，

f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，

且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，

∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5.

答案：5 9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．

解：令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，

m>0，m<0，依题意得或

f4<0，f4>0，m>0，m<0，即或

26m＋38<0，26m＋38>0.

19解得－13

19即实数m的取值范围是－13，0. 10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c＜b＜1)的一个零点是1，且函数g(x)＝f(x)＋1也有零点．

(1)证明：－3＜c≤－1，且b≥0；

(2)若m是函数g(x)的一个零点，试判断f(m－4)的正负并加以证明．

c＋1c＋1解：(1)证明：由f(1)＝0，得b＝－2.又c＜b＜1，故c＜－21＜1，∴－3＜c＜－3. 方程f(x)＋1＝0有实根，

即方程x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，

故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即c2－2c－3≥0. 1∴c≥3，或c≤－1，又－3＜c＜－3，

所以－3＜c≤－1.

c＋1又b＝－2，∴b≥0. (2)∵f(x)＝x2＋2bx＋c＝(x－c)(x－1)，且m是函数g(x)＝f(x)＋1的一个零点，

∴f(m)＝－1＜0，故c＜m＜1. ∴c－4＜m－4＜－3＜c. ∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0，

所以f(m－4)的符号为正．

B组

高考题型专练

1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

) A．y＝cos x

C．y＝ln x

B．y＝sin x

D．y＝x2＋1 解析：y＝cos x是偶函数，且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A. 答案：A 2－|x|，x≤2，2．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)2x－2，x＞2，

＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(

) 7A.4，＋∞

7B.－∞，4

7D.4，2

7C.0，4

解析：函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)

＋f(2－x)的图象有4个不同的交点．又y＝f(x)＋f(2－x)＝2x＋x＋2，x＜0，2，0≤x≤2，x2－5x＋8，x＞2，

7作出该函数的图象如图所示，由图可得，当4＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)有4个交点，故选D.

答案：D xπ3．(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝4cos

2cos2－x－2sin x－|ln(x2＋1)|的零点个数为________．

xπ解析：因为f(x)＝4cos

2cos2－x－2sin x－2|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．

答案：2 3x，x≤a，4．(2015·高考湖南卷)已知函数f(x)＝2若存在实数b，x，x＞a.

使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．

解析：令

φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x＞a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a＜0或φ(a)＞h(a)，即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，

故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．

答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 5．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，12x－2x＋当x∈[0,3)时，f(x)＝2.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．

1122x－2x＋x－1－解析：当x∈[0,3)时，f(x)＝2＝2，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3,4]上的图象，如图．

由题意知方程a＝f(x)在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a1∈0，2. 1答案：0，2

