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专题复习：函数的单调性

湘乡一中

徐淑芬

一、函数单调性的定义：

1、增函数：

2、减函数：

3、单调性：

4、单调区间：

注意：

1、x1,x2必须在

内

2、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的

性质. 3、多个单调区间用“

”或“

”隔开

4、若y=f(x)是增函数, 当f(x1)

若y=f(x)是减函数, 当f(x1)

二、判断函数单调性的方法：

1、定义法：步骤：

2、图像法：

3、利用函数的运算性质：

4、奇偶性：

5、复合函数：

基础自测

1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是

(

)

A.y=-x+1

B.y= x

y

C.y=x2-4x+5

D. 2x

2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的

根

（

）

A.有且只有一个

B.有2个

C.至多有一个

D.以上均不对

1f(||)f(1)x3.已知f(x)为R上的减函数，则满足

的实数x的取值范围是

（

）

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

1

4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则

(

) k1

A.

2

B.

k12

k12k1

C.

D. 2

题型一：用定义法证明判断函数的单调性

例题1

判断下列函数的单调性，并证明.

(1)f(x)2x1,x(1,);(2)f(x)x22x1,x[1,);(3)f(x)x1,x[1,).

f(x)axx2知能迁移x1(a1).1

已知函数

证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

题型二

复合函数的单调性

【例2】

已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函

数的区间是(

)

A.(3,6)

B.(-1,0)

C.(1,2)

D.（-3,-1）

log3x1)知能迁移2

函数y=

1(2x22

的递减区间为(,3]

A.(1,+∞)

B. 4

1

C.

(2,)

D. [34,)

2

）

（

题型三

抽象函数的单调性与最值

【例3】

已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f（x）

+f（y）=f(x+y)，且当x>02.时，f(x)<0,

f(1)= 3

（1）求证：f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在［-3，3］上的最大值和最小值.

能力迁移3

设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函

数,且满足下面两个条件:

①对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y);

②当x>1时,f(x)<0,

试判断函数y=f(x)在(0,+∞)上的单调性.

题型四

函数单调性与不等式

【例4】

函数f(x)对任意的a、b∈R,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

知能迁移4

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)

=f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

方法与技巧小结

3

定时检测

一、选择题

1.若函数y=ax与

在(0,+∞)上都是减函数，

则y=ax2+bx在（0，+∞）上是

（

）

A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.先减后增

x3a,f(x)xa,2.函数

x0,x0（a>0且a≠1）是R上

的减函数，则a的取值范围是

（

）

1[,1)

A.（0，1）

B. 3

12(0,](0,]3

D. 3

C.

3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是（

）

A

.y=sin x

B.y=-log2x 1y()x2

D.

C.

yx12

4.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是

（

）

33(,][,)2

B. 2

A.

33[,4)(1,]2

D. 2

C.

4