习题3.1优秀教学实录

§2.9

函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

3.二分法

（x1,0）,（x2,0）

两个

（x1,0）

一个

无交点

无

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[难点正本

疑点清源] 1．函数的零点不是点

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相

反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

1．(课本改编题)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．

答案

(1.25,1.5) 解析

∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴f(x)＝0的根落在区间(1.25,1.5)．

2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

11答案

－，－

2322－2a－b＝0a＝5解析

由2，得. 3－3a－b＝0b＝－611∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－. 23

3．(2011·温州一模)已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．

答案

3 解析

由题意知，f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3. 4．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案

a>1 解析

设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，如图(1)，由图象可知当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.

图(1)

图(2) 5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是

A．(－2，－1)

答案

B

B．(－1,0)

C．(0,1)

(

) D．(1,2)

解析

f(－1)·f(0)<0，且函数f(x)的图象连续不间断，选B.

题型一

判断函数在给定区间上零点的存在性

例1

判断下列函数在给定区间上是否存在零点．

(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；

(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．

思维启迪：第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解．

解

(1)方法一

∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，

f(8)＝82－3×8－18＝22>0，

∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．

方法二

令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．

∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，

∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．

(2)方法一

∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，

f(3)＝log25－3

故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．

方法二

设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出

它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一

个交点，

因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．

探究提高

函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．

(1)(2010·天津，理2)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是

(

) A．(－2，－1)

答案

B 解析

∵f′(x)＝2xln 2＋3>0，

∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．

而f(－2)＝22－6<0，f(－1)＝21－3<0，

－－

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2) f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，

∴f(－1)·f(0)<0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．

1(2)设函数f(x)＝x－ln x (x>0)，则y＝f(x)

31A．在区间e，1，(1，e)内均有零点

1B．在区间e，1，(1，e)内均无零点

(

)

1C．在区间e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点

1D．在区间e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点

答案

D 11x－3解析

f′(x)＝－＝，当x>3时，f′(x)>0，

3x3x当0

∴f(x)在(0,3)上递减，在(3，＋∞)上递增．

111e1，1内无零点，在区间(1，e)内又∵f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，∴在区间e3ee33有零点．

题型二

函数零点个数的判断

例2

若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝

f(x)－log3|x|的零点个数是________．

思维启迪：函数零点的个数⇔方程解的个数⇔函数y＝f(x)与y＝log3|x|的交点的个数．

答案

4 解析

由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．

在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，

即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．

探究提高

判断函数零点的个数，通常可用数形结合法，直接求解法．这类题目是高考的常考题目，望同学们能够灵活处理．

(2011·山东，理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为

(

) A．6

答案

B 解析

∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，

∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1. 由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5；x7＝6也是f(x)＝0的根．

故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7. 题型三

二次函数的零点分布问题

例3

已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

思维启迪：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，

然后用函数性质加以限制．

B．7

C．8

D．9

解

(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得

f0＝2m＋1<0，1m<－，2f－1＝2>0，f1＝4m＋2<0，f2＝6m＋5>0.51即－

m∈R，⇒1m<－，2m>－5.6

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示

f0>0，f1>0，列不等式组Δ≥0，0<－m<1.1即－－，2

m>－1，⇒2m≥1＋2或m≤1－－1

探究提高

本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．

a

(2011·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：

2b3(1)a>0且－3<<－；

a4(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|

(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0. 2又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0. 又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，

∴3a>－3a－2b>2b. b3∵a>0，∴－3<<－. a4(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c. ①当c>0时，∵a>0，

a∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，

2∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．

②当c≤0时，∵a>0，

57. 4

a∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，

2∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．

综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．

(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．

bc3b∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－. aa2a∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2

b3b＝－2－4－－

a2ab＝＋22＋2. ab357∵－3<<－，∴2≤|x1－x2|<. a44

1．数形结合思想在函数零点问题中的应用

2e2试题：(12分)已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋

(x>0)．

x(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

审题视角

(1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．

规范解答

e2解

(1)方法一

∵g(x)＝x＋≥2e2＝2e，

x等号成立的条件是x＝e，

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，

[3分] 因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．

[6分] 2e方法二

作出g(x)＝x＋

(x>0)的大致图象如图：

[3分] x可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. 个不同的交点，

e2作出g(x)＝x＋

(x>0)的大致图象．

x

[6分] (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两

[8分] ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

[12分] 批阅笔记

(1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数[10分] 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，

范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解．

(2)本题的易错点在于确定g(x)的最小值和f(x)的最大值时易错．要注意函数最值的求法.

方法与技巧

1．函数零点的判定常用的方法有：

(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. 2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．

3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．

失误与防范

1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数的零点，注意以下几点：

(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；

(3)一般我们只讨论函数的实数零点；

(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．

2．对函数零点存在的判断中，必须强调：

(1)f(x)在[a，b]上连续；

(2)f(a)·f(b)<0；

(3)在(a，b)内存在零点．

这是零点存在的一个充分条件，但不必要．

课时规范训练

A组

专项基础训练题组

一、选择题

1．(2011·湘潭模拟)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是

(

)

答案

C

解析

能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．

1x2．(2011·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－3，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0

则f(x1)的值为

A．恒为负 答案

C

(

) B．等于零

C．恒为正

D．不小于零

1x解析

在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝3的图象，由图象知f(x1)>0.

3．(2011·福州月考)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则

(

) A．a

答案

B 11解析

由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，

22且f(x)为单调递增函数．

故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．

∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；

111h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，

2221故h(x)的零点c∈2，1，因此a

本题的易错点是，学生误以需求出a、b、c，其实a和c只需限定区间即可．

2x＋2x－3，x≤0，4．(2010·福建)函数f(x)＝

的零点个数为

(

) －2＋ln x，x>0

B．a

C．b

D．c

A．3

答案

B

B．2

C．1

D．0 解析

当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，

得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2. 二、填空题

5．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．

答案

3 解析

函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x在区间(0，1)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称2 012性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3. 6．(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，

x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．

答案

x1

解析

令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；

令x＋ln x＝0，即ln x＝－x，设y＝ln x，y＝－x.

在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x，如图：x1<0

令x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，

1＋5∴x＝，

23＋5即x3＝>1，所以x10的解集是____________．

3答案

{x|－

由于f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3，

－2＋3＝－aa＝－1，因此⇒则f(x)＝x2－x－6，

3＝b－2·b＝－6，

所以不等式a·f(－2x)>0，即2x2＋x－3<0. 3解之得－

则函数g(x)＝f(x)－x的零点为1，

－1

____________．

答案

1＋2或1 解析

即求f(x)＝x的根，

x≥2或x≤－1，－1

∴g(x)的零点为x＝1＋2或x＝1. 点评

本题的易错点有两个：①不分类讨论致误；②忽略条件致误．

三、解答题

9．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．

解

∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，

∴若存在实数a满足条件，

则只需f(－1)·f(3)≤0即可．

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 1所以a≤－或a≥1. 5检验：①当f(－1)＝0时，a＝1. 所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.

得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. 1②当f(3)＝0时，a＝－，

5136此时f(x)＝x2－x－，

55136令f(x)＝0，即x2－x－＝0，

552解之得x＝－或x＝3. 51方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－. 51综上所述，a<－或a>1. 5B组

专项能力提升题组

一、选择题

1．(2011·天津十二县市联考)已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是

(

)

A．函数f[g(x)]的零点有且仅有6个

B．函数g[f(x)]的零点有且仅有3个

C．函数f[f(x)]的零点有且仅有5个

D．函数g[g(x)]的零点有且仅有4个

答案

B

解析

对于A选项，设g(x)＝t，令f(t)＝0，由f(x)图象可知方程有3个根，分别为－2

2．方程|x2－2x|＝a2＋1 (a>0)的解的个数是

A．1

答案

B

B．2

(

) C．3 D．4

解析

∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x |的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．

∴方程有两解．

点评

y＝|x2－2x|的图象画不准确致误．

3．(2011·陕西，理6)函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内

A．没有零点

答案

B 解析

在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cos x的图象，

如图，由于x>1时，y＝x>1，y＝cos x≤1，所以两图象只有一个

交点，即方程x－cos x＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝

x－cos x在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B. 二、填空题

4．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．

答案

(2,3) 解析

因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2

答案

6 解析

因为f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)为周期函数，其周期为2. 在同一直角坐标系中，画出函数y＝f(x)和y＝log7x的图象如图：

C．有且仅有两个零点

(

) B．有且仅有一个零点

D．有无穷多个零点

当x＝7时，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)与y＝log7x共有6个交点．

x2－1，x>06．(2011·海淀检测)已知函数f(x)＝2，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则－x－2x，x≤0

实数m的取值范围是________．

答案

(0,1) x2－1，x>0解析

画出f(x)＝2的图象，如下图．

－x－2x，x≤0

由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0

7．(2011·苏锡常镇联考(一))设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则

m的取值集合为____________．

答案

{0,3,14,30} 解析

由题中m∈N，函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点知，－5≤x≤10，若使f(x)存在整数零点，则当m≠0时10－x∈Z，于是x只能取1,6,9,10这四个数字，令2x

－m10－x－m＋10＝0，则将x的可能取值分别代入方程，可得m∈{3,14,30}；当m＝0时，也符合题意，于是m的取值集合为{0,3,14,30}．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

解

∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，

即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．

设2x＝t (t>0)，则t2＋mt＋1＝0. 当Δ＝0时，即m2－4＝0，

∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，

∴2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ>0时，即m>2或m<－2时，

t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，

即f(x)有两个零点或没有零点．

∴这种情况不符合题意．

综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0. 9．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

解

(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1. ②方法一

设f(x)的两个零点分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4. Δ＝4m－43m＋4>0由题意，知x1＋1x2＋1>0x1＋1＋x2＋1>0Δ>0，方法二

由题意，知－m>－1，f－1>0，2∴－5

2

m－3m－4>0⇔3m＋4－2m＋1>0－2m＋2>02m－3m－4>0，即m<1，1－2m＋3m＋4>0.

m>4或m<－1，⇔m>－5，m<1，

∴－5

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，

即|4x－x2|＝－a. 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图象．

由图象可知，当0<－a<4，

即－4