小结公开课参赛课教案

函数的基本性质

教学目标

1、理解函数的单调性和奇偶性的含义，及判断函数的单调性和奇偶性。

2、能初步运用函数的性质求值域、作函数的图象。

重点难点

重点：函数的单调性和奇偶性的定义，求解函数的单调区间和判断函数的奇偶性。

难点：求解复杂函数的单调区间和判断函数的奇偶性。

教学内容

1、引入：

据说当年牛顿已经从科学第一线退了下来，揽到了皇家造币厂厂长的肥缺。劳累了一天以后，回家在壁炉前看到了贝努力的题，，熬夜到凌晨4点，就搞定

了。贝努力看到这个匿名送来的答案，说道：“我看到了狮子露出来了利爪。”在这么多解答当中，约翰的应该是最漂亮的，类比了费马光学原理作了出来，用光学

一下做了出来。但是从影响来说，弟弟的做法真正体现了变分思想。这个思想是把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便是曲线的函数，这就是泛函。类似于微积分求最大最小值的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是变分法。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子欧拉和法国的拉格

朗日。贝努力家族对数学最大的贡献还不是在数学本身，而是发现了欧拉。

2、函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I，若对于I内某个区间D上任意的两个自变量x1,x2,当x1x2，均有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间D上增函数（increasing

function);同样条件下，若均有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间D上减函数（decreasing

function) 其中区间D称为函数f(x)的单调区间

注意：严格的单调性（理解）

单调区间的写法（细心）

函数单调性的判断方法：（1）直接法

（2）定义法

（3）

图像法

（4）利用复合函数的单调性的判断法则

其中定义法步骤：取值

作差（商）变形

定符号

④判断

函数的最值：（1）一般地，对于函数yf(x)定义域为I，若存在实数M满足任意xI，均有f(x)M，且存在x0I使得f(x0)M，则称M为函数yf(x)的最大值（maximum

value) (2)

，则称N为函数yf(x)的最小值（minimum

value).

1

复合函数：如果函数yf(t)的定义域为A，函数tg(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数yf[g(x)]为f(x)与g(x)的D上的复合函数，其中t叫做中间变量，tg(x)叫做内层函数，yf(t)叫做外层函数。

复合函数的定义域：函数yf[g(x)]的定义域还是指x的取值范围，而不是g(x)的范围。

3、函数的奇偶性

一般地，对于函数yf(x)定义域内任意一个x，若均有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数；若均有f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数。

函数最值的求解方法

（1）配方法

（2）判别式法

（3）不等式法

（4）换元法

（5）数形结合法

注意：验证“等号”是否成立

小结：单调性是局部性质，而奇偶性是整体性质

函数的最值与值域、单调性之间的关系？

例题讲解

例1 （1）设函数f(x)x21ax，证明：当a1函数f(x)在区间[0,)上是减函数；

（2）尝试判断函数f(x)x1的单调性。

x

例2

(1)已知a,bN，f(ab)f(a)f(b),f(1)2，则：

f(2)f(3)f(2010)f(2011)______

f(1)f(2)f(2009)f(2010)1(x0)1(xQ)（2）（2012年江西高考）设f(x)0(x0),g(x)，则f(g())的值为

0(xQ)1(x0)

2

x22xa,x[1,). 例3已知函数f(x)x（1）当a4时，求f(x)的最小值；

（2）当a1时，求f(x)的最小值；

2（3）当a为正常数，求f(x)的最小值；

例4 求解下面的题：

（1）设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)2，且f(x1)f(x6)，求f(10)f(4)的值. （2）若函数f(x)满足f(x)f(x)，又在(0,)上单调递增，且f(3)0，则不等式xf(x)0的解集。

（3）已知函数f(x)，当x,yR时，恒有f(xy)f(x)f(y).求证：f(x)为奇函数.

（0，）例5 已知函数f(x)的定义域是，当x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y). （1）求f(1)；

（2）证明：f(x)在定义域上是增函数；

（3）解不等式f[x(x)]0.

12

3

过手练习

1、函数yx2在区间[3,0]上是（

）

A.递减

B.递增

C.先减后增

D. 先增后减

2、已知函数f(x)x22kx3在[4,)上是单调增函数，则实数k的取值范围是 3、若函数yax1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的取值范围为 24、已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2x，则f(x)在R上的解析式为 拓展训练

1、已知函数f(x)x22ax2,x[5,5].（1）当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使yf(x)在区间[5,5]上是单调函数.

22、已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a1)，求a的取值范围。

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3、已知函数f(x)axb12f()(1,1)是定义在上的奇函数，且. 1x225（1）确定函数f(x)的解析式；

（2）用定义法证明f(x)在(1,1)上是增函数；

课后作业

1.（1）若函数f(x)4xkx8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围（

）.

A.(,40]

B.[40,64]

C.(,40][64,)

D.[64,)

2（2）函数f(x)2x6,x[1,2]，则f(x)的最大值、最小值分别为（

）

x7,x[1,1]

A.10,6

B.10,8

C.8,6

D.以上都不对

（3）下列函数为奇函数的是（

）

A.yx

B.y3x

C.y12

D.yx14

3x2x为（

）. (x2)222（4）定义两种运算：abab,abab，则函数f(x) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

（5）给出下列结论：

奇函数的图象一定经过原点；偶函数的图象一定关于y轴对称；奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；④既是奇函数又是偶函数的函数不存在.

其中正确命题的个数是（

）

A．0

B.1

C．2

D．3 2.函数f(x)满足：f(1)1,4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x,yR)，则4f(20)10____。_

3.直线y1与曲线yxxa有四个交点，则a的取值范围

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534.已知f(x)axbxcx8，且f(d)10，求f(d).

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5.定义在[1,1]上的偶函数f(x)，当x0时，f(x)为增函数，若f(1m)f(2m)，求m的取值范围。

6.用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)min2x,x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为

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