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维恩图在集合问题中的应用

数形结合思想是高中数学的基本数学思想之一。维恩图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系．例如，集合A={0，1，3，5}，可以用图1来表示；集合A是集合B的真子集，可以用图2表示；集合A∪B可以表示成图3；集合A∩B可以表示成图4．

0 1 3

图1 5 B 图2 A AB

A A∩B B 图3 图4 有了上述的表示方法，我们就可以利用维恩图来解决有关集合问题了．

【例1】已知全集U=N，集合A={x|x=2n,n∈N}, B={x|x=4n,n∈N}，则U=（ ）

A．U=A∪B B．（ðUA）∪B C． A∪ðUB D．ðUA∪ðUB

分析与解：由集合A={x|x=2n,n∈N}, B={x|x=4n,n∈N}可知，B是A的真子集，于是，B U 图5 A

可以用维恩图表示成图5的形式．由图5可得，U= A∪ðUB．

【例2】设全集U={0,1,2,3,4}，集合0 2A∩B

B 4 3 A={0,1,2,3}，集合B={2,3,4}，则(痧(UB)=UA)（ ）

A 1 U 图6 A．{0} B．{0,1} C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4} 分析与解：将已知条件用维恩图表示（如图6），由维恩图可知，ðUA={4}，ðUB={0，1}，所以(痧(UB)={0,1,4}．故选C． UA)

【例3】设全集U={x|x8,xN*}，若Að1,8},Bð(UB)

UA{2,6},(痧UB{UA){4,7}，则（ ）

A．A={1,8}，B={2,6} B．A={1,3,5,8}，B={2,3,5,6} C．A={1,8}，B={2,3,5,6} D．A={1,3,8}，B={2,5,6} 分析：本题可以利用维恩图来表示已知1 4 7 条件，从而直观地解决问题．

A U 32 A∩B

B 5 6 8 图7

解：由U={x|x8,xN*}，得U={1,2,3,4,5,6,7,8}．由可知，元素1，8∈A，且1，8B，于是，可以在维Að,UB{1,8}恩图中标出这两个元素的位置（如图7所示）；由BðUA{2,6}得，元素2，6∈B，且2，6A，同样地又可以在维恩图中标出元素2和6的位置；又由(痧(UB){4,7}可知，元素4，7在全集U中、UA)集合A，B之外(如图8)；所以，全集U中剩下的两个元素3，5∈A∩B，在维恩图中标出元素3和5．所以，由图8可知，A={1,3,5,8}，B={2,3,5,6}．故选B．

【例4】设全集为U，已知集合A={2，4，6，8，10}，ðUA={1，3，5，7，9}，ðUB={1，4，6，8，9}，求集合B．

分析：本题给出了集合A，ðUA和ðUB，需要由这三个条件确定集合B，于是，可以1 24 3 A∩B

A 6 B 9 5 10 7 8 ðB)

U(AU 图8 通过对已知条件的分析，并借助于维恩图来解决问题．

解：如图，因为A={2，4，6，8，10}，ðUB={1，4，6，8，9}，所以，元素1和9既不在集合A中，也不在集合B中，于是，元素1和9在全集U中、但在集合A，B之外，即1，9∈ðU(AB)（如图8）；又因为3,5,7 ∈ðUA，但3，5，7ðU(AB)，所以，

元素3，5，7必属于集合B；因为2，10A，但是2，10ðUB，所以， 2，10B，即2，10AB（如图8）．所以，集合B={2，3，5，7，10}．

从上面的几个例子我们不难发现：由于维恩图能够直观地表示集合以及集合于集合之间的关系，所以，利用维恩图可以帮助我们形象而又简捷地地解决问题．因此，同学们要逐步地形成利用维恩图解题的意识，提高自己解决问题的能力．