小结与思考教案设计（一等奖）

第一章

全等三角形复习——角含半角模型

【教学目标】

知识与技能

（1）理解角含半角的含义，知道四边形角含半角模型中的三个条件。

（2）会用截长补短法或旋转法证明三条线段之间的和差关系。

过程与方法

（1）在问题迁移的过程中不断完善对四边形角含半角问题的认识。

（2）通过类比特殊角中角含半角的方法，得到一般条件下角含半角问题的解决方法，培养学生知识迁移的能力。

情感态度价值观

（1）体会数学问题中的从特殊到一般的思想方法，学会从特殊情况入手找到解决问题的突破口。

（2）感受截长补短法和旋转法在解决四边形角含半角问题中的区别与联系。

【教学重点】

（1）角含半角的条件、方法、结论

（2）截长补短法或旋转法证明线段的和差关系

【教学难点】

半角在形外的角含半角

【教学方法】

讲练结合；讨论交流

【教学过程设计】

教

学

环

节

（一）

教

学

内

容

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠BAD=90°，∠EAF=45°，∠B=∠D=90°，请探究线段BE、EF、DF之间的数量关系.

教

师

学

生

活

动

活

动

教师

提出

设

计

意

图

问题，

问题1：条件中哪里体现角含半角？

学生

∠BAD=90°，∠EAF=45°

问题2：两条短线段怎样才能相加？

思考.

在同一条直线上

问题2：怎样才能让它们在同一条直线上呢？

旋转过去

引导

学生思考并举结合条件，通过分析特殊角90°内含45°，初步感受如何结合条件来寻找BE、DF与EF之间的关系.

拾级

方法1：“旋转”

①将△ADF旋转至△ADF'. ②证明F'、B、E三点共线. ③证明△AEF≌△AEF'. 结论：①AF平分∠EAG. ②EF=BE+DF 方法2：“补短”

①延长CB至点F'，使得BF'=DF. ②证明F'、B、E三点共线. ③证明△AEF≌△AEF'. 结论：①AF平分∠EAG. ②EF=BE+DF 完整地手回板书两答问种方法题. 的过程.

让学生学生如图，在四边形ABCD中，类比

用类

学生初步感受如何用“旋转”和“补短”法证明结论.

分别请学生到黑板上讲解“旋转法”和“补短法”，以及其中的注意点。

AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°，90°含比的∠B=∠D=90°，求证：BE+DF=EF.

45°的方法方法来思考证

明.

120°中含60°的证明过程.并思考

如何（二）

而上1

问题1：AF还是角平分线吗？

AF是角平分线

问题2：BE+DF=EF还成立吗? 成立

追问：将∠BAD=120°，∠EAF=60°

改为

∠EAF =

1∠BAD呢？

2思考条在件改变90°后上述含结论是45°否变.

改的过程上修改.

问题：BE+DF=EF还成立吗? 成立

问题：将条件继续一般化，如图，在四

思考如何

体会特殊与一般的关系，并能从特殊角出发找到解决一般化问题的思路.

感受条件在变但结论没有变化，并思考其中的原因.

边形ABCD中，AB=AD，∠EAF=

∠

BAD，将“∠B=∠D=90°”改为∠B+∠从特殊在特角的半殊角角关系90°到任意含角的半45°角关的证（三）

D=180°，求证：BE+DF=EF. 而上2

师：1、3、5、7组写旋转法过程，2，4,6,8系，思明过组写“补短法”过程

考上述程上问题：四边形的一组对角互补，在两种方结论是修改法中分别有什么作用？

（1）旋转法中用来证共线；

否依然得到成立. 本题的过程.并写出完整的证明过程.

（2）补短法中用来得角等，从而证全等

（第一次全等SAS）

总结：四边形中的角含半角条件：

①

∠EAF=

∠BAD，

②

AB=AD ③

∠B+∠D=180°

总结：解决四边形中的角含半角方法：

①

补短——两次全等（SAS）

②

旋转—三点共线—一次全等（SAS）

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠EAF=

∠BAD，∠B+∠D=180°，

点E、F分别在BC、CD的延长线上，

请探究线段BE、EF、DF之间

提出问先观题引发察三学生思条线考.

段的长短（四）

的数量关系. 登峰

当半角再思在大角考如的外侧何类

问题1：类比前面的旋转，这里该怎么旋转？

时，上比之将△ADF绕点A旋转使AD与AB重合

问题2：怎么说明F点一定会落在边BC上呢？

述结论前方由条件易得∠ADF=∠ABC，而∠ADF=∠ABG，所以∠ABC=∠ABG，∴B，G，C共线。

是否变法解问题3：这里还能再延长线上补短吗？

化？

应该在最长的线段BE上截取，证明剩下的部分跟另一条较短线段相等。

探索四边形中角含半角“外含”情况，感受角含半角问题的本质并巩固解决问题的方法. 感受“截长”与“补短”的异同. 感受证明三点共线与之前方法的异同. 体会从形内到形外的改变带来的结论上的变化通过总结反思，深化知识理解，完善知识结构，领悟思想方法，提高认知能力.

决问如何利题. 类比

截

方法：①在BE上截取BG=DF. ②将△ADF绕点A旋转使AD与“AB重合，则点F落在BE上的G点.

长”或

结论：①AE是角平分线. 旋转的

②EF+DF=BE. 方法解

决

题.

问

（五）

课

堂

小

结

1、“角含半角”具备哪些条件？

引导学学生生回回顾、顾、总总结、反思.

2、解决

“角含半角”常用的方法有哪结. 些？

3、“角含半角”有什么结论？