三角形的高设计意图

《三角形的高》（第5课时）教案

拓展版

教学目标 知识技能

1．三角形的高线的定义． 2．三角形的高线的画法．

数学思考

经历探索新知识的过程，提高学生的动手操作能力、观察能力和归纳总结能力．

解决问题

能利用三角形的高进行有关推理和计算．

情感、态度

在解决问题的过程中，体会用折纸、画图等方法给问题的解决带来的方便，增强学习数学的兴趣．

教学重点

能够正确地画出三角形的高线，并理解高线的含义．

教学难点

钝角三角形高的画法；三角形三条高的位置关系．

教学过程

一、情境导入：

多媒体展示以下问题，请学生回忆，思考，举手回答．

1．垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．

2．过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎么画？

前面我们学习了三角形的中线、内角平分线，在三角形中还有什么特殊的线段呢？今天来探究这一问题．

设计意图：通过问题情境，在回顾与思考的基础上，激发学生学习兴趣，引入新课．

二、探究新知：

1．三角形的高的概念

如图，三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊位置关系？

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，AF是△ABC的高，AF⊥BC．

斜梁斜梁

立柱

2．做一做

准备一张锐角三角形纸片．

(1)你能画出这个三角形的三条高吗?你能用折纸的方法得到它们吗?

(2)这三条高之间有怎样的位置关系?

设计意图：这里要求画出和折出锐角三角形的三条高并观察它们的位置关系，因为前面已经得出了三角形的角平分线和中线的结论，因此得出结论比较容易，但是要折出三条高还是比较难．

3．议一议

在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形．

(1)

画出直角三角形的三条高．它们有怎样的位置关系? (2)

你能折出钝角三角形的三条高吗?它们所在的直线交于一点吗? 先回顾三角形的高的定义，再讨论直角三角形和钝角三角形的高的画法．

然后交流直角三角形和钝角三角形的三条高的位置关系．

归纳总结：三角形的三条高所在直线交于一点．

强调：①三角形的三条高线都是线段；

横梁

②锐角三角形的三条高在三角形的内部，直角三角形的斜边上的高在三角形的内部，而直角边互相垂直，所以两直角边是它的两条高；钝角三角形夹钝角的边上的高在其边的延长线上，在三角形的外部，另一条高在三角形的内部； ③三角形的三条高所在的直线相交于一点，交点所在的位置随三角形的形状的不同而不同；

④高与垂线与直角紧密连在一起；

⑤画钝角三角形夹钝角的两边上的高时，需注意是过哪一点作哪一边延长线的垂线．

4．想一想

分别指出下图中△ABC的三条高．

AFADBCBCE

设计意图：这里分别画出了直角三角形和钝角三角形的三条高，目的是为了进一步认

识这两种三角形中高的位置的特殊性．

三、典例精讲：

例1

如图,在△ABC中,AD,AF分别是BC边上中线和高, （1）AF是图中哪几个三角形的高？

（2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由．

ABDFC

解：（1）AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF，△ADC，△AFC的高

（2）△ABD与△ACD的面积相等．理由如下：

因为BD=DC，

所以11BD﹒

AF=DC﹒

AF．

22由三角形的面积公式可知．△ABD与△ACD的面积相等．

例2

在Rt△ABC中，BAC90，AD是△ABC的高，找出图中相等的角．（直角除外）

分析：根据题意可知，图中有三个直角三角形，分别是Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ADC，根据“直角三角形的两个锐角互余”可以得出三组互为余角的角，再根据“同角（或等角）的余角相等”可以找出相等的角．

解：∵在Rt△ABC中，BAC90,

∴CB90．（直角三角形的两个锐角互余）

又∵在RtABD中，BDA90，∴BADB90．

∴BADC．（同角的余角相等）

同理可得：CADB．

四、课堂练习

如图，AC为BC边上的垂线，CD为AB边上的垂线，DE为BC边上的垂线，D，E分别在△ABC的AB和BC边上，下列说法：

ADBEC

（1）△ABC中，AC是BC边上的高；（2）△BCD中，DE是BC边上的高；

（3）△ABE中，DE是BE边上的高；（4）△ACD中，AD是CD边上的高．

其中正确的个数有（ ）．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

答案：

由已知结合三角形高线的定义：△ABC中，AC是BC边上的高；△BCD中，DE是BC边上的高；△ACD中，AD是CD边上的高．因此应选B．

五、拓展提升

例3

如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．

分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC．

解：∠DAC＝∠EBC．

因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，

所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．

所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．

所以∠DAC＝∠EBC．

设计意图：通过练习，加深对三角形的高、中线、角平分线的认识．

六、拓展练习

作出△ABC中CB边上的高，AB边上的中线，AC边上的角平分线．

分析：作三角形的高线可以用三角尺的直角作垂线，值得注意的是：是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线．作三角形的角平分线、中线，可以分别用量角器、直角测量作图．另外，任意三角形的中线、角平分线和锐角三角形的高线均可以用折纸法作出．

解：

∴AD是CB边上的高，CE是AB边上的中线，BF是AC边上的角平分线

七、课堂小结

1．每个三角形都有三条高线．

2．三角形的三条高交于一点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．

3．三角形的高是线段．

设计意图：归纳总结三角形高的概念，使学生全面了解三角形的高及性质，同时也培养学生系统整理知识的能力．

八、布置作业

1．三角形的角平分线、中线、高线中（ ）．

A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段

C．高线是直线，其余是线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段

2．下列说法正确的是（ ）．

①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；

②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；

③每个三角形都有三条高、中线和角平分线；

④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．

A．③④ B．③ C．②③ D．①④

3．如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．

答案：

1．A．解：由三角形的角平分线、中线、高线的定义可知，三角形的角平分线、中线、高线都是线段．

2．B． 3．解：∠DAC＝∠EBC．

因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，

所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．

所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．

所以∠DAC＝∠EBC．

九、课堂检测

1．下列命题：

（1）直角三角形只有一条高；

（2）钝角三角形只有一条高；

（3）三角形的三条高所在的直线相交于一点，它不在三角形的内部，就在三角形的外部；

（4）三角形的高是一条垂线．其中假命题的个数有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，已知AF＝6，BC＝10，BG＝5．

（1）求△ABC的面积；

（2）求AC的长；

（3）说明△ABD和△ACD的面积的关系．

AG

B

答案：

FDC1．D． 2．解：（1）因为BC＝10，AF⊥BC，AF＝6，所以S△ABC＝（2）因为BG为△ABC的高，所以S△ABC＝BG＝5，BC＝10，AF＝6，所以AC＝12；

1BC·AF＝30．

2111AC·BG＝AC·BG＝BC·AF，因为222

（3）因为AF⊥BC，所以S△ABD＝11BD·AF，S△ACD＝CD·AF，因为AD为△ABD22的中线，所以BD＝CD．所以S△ABD＝S△ACD，即△ABD和△ACD的面积相等．