3.4.1 函数与方程教案教学设计导入整理

宜兴市阳羡高级中学

赵俊

214205 课题：2.5.2用二分法求方程的近似解

教学目标

1．知识与技能

逼近法的理解、二分法的操作方法。

2．过程与方法

①自主学习，了解逼近思想、极限思想；

②探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题，变人解为机器解。

3．情感、态度与价值观

正面解决问题困难时，可以通过迂回的方法去解决。

教学重点

二分法的掌握

教学难点

对二分法的理论支撑的理解。

教具准备

多媒体课件、电脑Excel软件

教学过程

1．

课前准备

①区间中点：一般地，把xab称为区间(a,b)的中点。

2②若连续函数yf(x)满足f(a)f(b)0，则在(a,b)必有零点。

2．

创设情景，引入新课

数学源于生活，生活中数学处处可见，下面我们就来看一个生活中的数学问题：

如果在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的电话线路，途中大约有200多根电线杆，如何迅速查出故障所在？

想一想：如果你是维修线路的工人师傅，你怎么维修呢？

（学生探究讨论，组织交流）

引导学生方法归纳总结：如图，首先从中点C处查起，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查……

思考这种检查方法的优点：每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半。

探索实践：算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50m━100m左右，即一两根电线

1 ACEDB

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214205 杆附近，要查多少次？(只要7次就够了) 3.讲解新课

这种检查线路故障的方法，就是二分法，二分法不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还能用于实验设计，资料查询，同时二分法还是求根的常用方法――――课题

问题:同学们能否求解方程2x3x30? 对于方程2x3x30，要求出这个方程的解是较为困难的，那么我们能否求出这个方程的近似解呢？

例题：利用计算器求方程2x3x30的一个实数解，精确到0.1。

启发：我们要求的是方程的一个近似解，所以首先要缩小根所在区间。

生：用图像，寻找函数图像与x轴交点所在区间。

师：对于这个函数我们要拿出它的图像比较困难。

问题：还有其他方法来缩小根所在区间吗？(新设想)

提示：我们前面学习了：对于函数yf(x)满足f(m)f(n)0（mn）则函数333yf(x)在区间(m,n)存在零点，即方程f(x)=0区间(m,n)存在根。

分析：对于函数f(x)2x33x3，当x0时，有f(x)0，所以函数的有一个零点在区间(0,＋）上，下面我们进一步缩小零点所在区间。

当x＝0时，f(0)30；当x＝1时，f1)(203。所以函数f(x)2x33x3（0，1）（0，1）在内存在零点，即方程2x3x30在内有解。这样还是无法得到满足条件的实数解，能否再进一步缩小根所在区间？

提示：根据上面线路故障的检查，你有何启发？

当x＝0.5时，f(0.5)1.250而当x＝1时，f(1)20

（0.5，1）所以函数f(x)2x33x3在内存在零点，即方程2x3x30在（0.5，1）内有解，这样还是无法得到满足条件的实数解，但是我们可以借助同样的方法缩小根所在区间，一直到得到满足条件的实数解。

因此我们就可以用下面的一张表格来概括以上的求解过程。

解：设f(x)2x3x3

33

2

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214205 中点值

函数值符号判断

选择区间

f(0)30,f(1)20

f(0.5)1.250，f(1)20

f(0.75)0.090，

f(0.5)1.250

f(0.625)0.640，f(0.75)0.090

(0,1)

(0.5,1)

(0.5,0.75)

(0.625,0.75)

0.5

0.75

0．625 可以看出，区间(0.625,0.75)内所有值若精确到0.1都是0.7，所以0.7是方程2x33x30精确到0.1的一个实数解。

思考：二分法求方程近似解的步骤？

（学生自我归纳小结）

教师归纳总结：

①合理确定初始区间

②不断二分解所在的区间

③根据精确度得出近似解

4．练习巩固

借助计算器，用二分法求方程x2x2的较大近似解（精确到0.1）

（利用Excel探索函数f(x)x2x2的图像，确定初始区间）

解：设f(x)x2x2

中点值

3 函数值符号判断

选择区间

222f(2)20,f(4)60

(2,4)

(2,3)

(2.5,3)

f(3)10，f(2)20

2.5

2.75

2.625

f(2.5)0.750，

f(3)10

f(2.75)0.06250，f(2.5)0.750

f(2.625)0.3593750，f(2.75)0.06250

3 (2.5,2.75)

(2.625,2.75)

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214205 方程的一个近似解为2.7。

5．

练习反思

问题：通过对上一题的解决，就以下几个问题谈谈你对二分法求方程近似解的体会？

①运用二分法求方程近似解的前提条件是什么？

（对于函数yf(x)满足f(m)f(n)0）

②二分法求方程近似解的步骤中的关键是什么？（初始区间的确定）

③二分法求方程近似解二分区间到哪一步结束？（根据精确度得到唯一的值）

6．课堂小结

二分法的优缺点：缺点是刻板、机械，要进行大量的重复计算，优点是只要按部就班地去做总会计算出结果，另外它可以让计算机来实现，可以编写程序，快速地求出一个函数地零点

7．练习反馈

（1）方程x3x10在下列哪些区间上有根

（

）

①（－1，0）

②（0，1）

③（－4，－3）

④（2，3）

A

①

②

B

②

③

C

①

③

D

③

④

（2）已知方程x2xm0在（1，2）上有根，则实数m地取值范围是

(

)

A

0m1

B

m0或m1

C

m1

D

m0

（3）方程lgxx4的解的个数是

（

）

A

0

B

1

C

2

D

无法确定

（4）二次函数yaxbxc(xR)的部分对应值如下表：

222x

y

－3 6 －2 m

－1 －4 20 －6 1 －6 2 －4 3 n

4 6

不求a、b、c的值，判断方程axbxc0的两个根所在的区间是

（

）

A

（－3，－1）和（2，4）

B

（－3，－1）和（－1，1）

C

（－1，1）和（1，2）

D

（－，－3）和（1，＋）

（5）下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

（

）

①

②

③

④

4

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214205

A

①

②

B

①

③

C

①

④

D

③

④

（6）用二分法求方程x－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是

（7）借助计算器，用二分法求方程x3x7的近似解（精确到0.1）

（8）求方程2x4的近似解（精确到0.1）

8．板书设计

二分法解题步骤：

注意点：

x23投影幕布

巩固练习

9．教学后感

①二分法初始区间的确定要在多花时间，最好强调两种方法：图像法，整数点验证法。

②解题中设计的表格行数要多一些，不要误导。

③二分法不断二分区间到哪一步为止，如区间(2.625,2.75)一直要分到根据精确度两端点的近似值相等为止。

④引入要选择生动活泼有趣味的例子，不要为引入而引入缺乏说服力，引例要贯穿课堂始终。

⑤课堂例题简单为好，宜选择一元二次方程其目的是为突出二分法的精妙。

⑥二分法教材地位：以函数与方程为基础利用数形结合思想多结合图像寻找初始区间，为后面的算法作铺垫。

⑦多让学生参与教学活动，学生能处理的问题尽力放手给学生。

⑧课堂设计新设想：由竞猜商品价格引入，利用“高了”，“低了”语句贯穿始终，如区间两个端点对应的函数值一个高于x轴一个低于x轴那么就可以得到函数在这个区间内有一个零点，方程在这个区间内有一个实数解，从而达到缩小根所在区间得目的。

⑨新设想链接：我们按照竞猜商品价格的方法，只要找到某区间的两端点值如果一个高于x轴一个低于x轴那么就可以得到函数在这个区间内有一个零点，方程在这个区间内有一个实数解，从而达到缩小根所在区间得目的。结合图像解决这个问题。

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