1.1 集合的含义及其表示教学设计(第一课时)

(一)集合的含义与表示

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义. 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

无限集 有限集

分类 空集

集合的概念 确定性

元素的性质

集

合

互异性 无序性

列举法

集合的表示法 描述法 真子集 子集

包含关系 相

等

集合与集合的关系

集合运算

交集 并集 补集

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有

关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二

是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易

逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. 1 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案 1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象

就成为一个集合，简称

．集合中的每一个对象叫做这个集合的

．2．集合中的元素属性具有：

(1) 确定性； (2) ； (3) ．

3．集合的表示法常用的有

、

和韦恩图法三种，有限集常

用

，无限集常用

，图示法常用于表示集合之间的相互关系．

4．元素与集合是属于和

的从属关系，若a是集合A的元素，记作

，若a不是集合B的元素，记作

．但是要注意元素与集合是相对而言的．

5．集合与集合的关系用符号

表示．

6．子集：若集合A中

都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作

．

7．相等：若集合A中

都是集合B的元素，同时集合B中

都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作

．

8．真子集：如果

就说集合A是集合B的真子集，记作

．9．若集合A含有n个元素，则A的子集有

个，真子集有

个，非空真子集有

个．

,10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的

，,

,是任何非空集合的

，解题时不可忽视．, 8,, 已知集合AxNN,,,|，试求集合的所有子集.A,,6,x,, x6,x86,x由题意可知是的正约数，所以

可以是1,2,4,8；相应的为2,4,5，即.A,2,4,5,, ,,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5} ?的所有子集为.A b,,,若a,bR,集合求b-a的值.1,,0,,,abab，,,,,,a,, b,,由可知a?0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：1,,0,,abab，,,,,,a,, ,ab，,0,,ab，,0,,b, ?或 ?ba,,a,,a,,b,,1b,1,,a, 2 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案 a,,1,,由?得符合题意；?无解.所以b-a=2. ,b,1, 2Uaa,，,{2,3,23} 设集合，，，求实数a的值.CA,{5}Aa,,{|21|,2}U 2此时只可能aa，,,235，易得或。a,2,4当时，符合题意。a,2A,{2,3} 当时，不符合题意，舍去。a,,4A,{9,3} 故。a,2 ,（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？

,（2）A＝{－2?x?5}，B＝{x|m＋1?x?2m－1}，BA,求m。

,,,（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1},,,, 22得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ?a值为0或－或2.33

（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2 ?A成立.,,

mm，,,121, ,,,，21m B?，由题意得得2?m?3,,

,521,,m, ?m<2或2?m?3 即m?3为取值范围. 注：（1）特殊集合作用，常易漏掉 ,

已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m?R}.

（1）若A是空集，求m

（2）若A中只有一个元素，求m

集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)?A是空集，?方程mx2-2x+3=0无解.

1?Δ=4-12m<0,即m>. 3

（2）?A

?方程mx2-2x+3=0只有一个解.

3若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;2

1若m?0，则Δ=0，即4-12m=0,m=. 3

1?m=0或m=. 3 若A中至多只有一个元素，求m的取值范围. 3 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案

答案：A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）

1的结果，得m=0或m?. 3

（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1?A，求实数a（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.

（1

a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1

?a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求. 1,2a,aa,2a,0a,0,,,ab,,,（2）由题意知,或或或,4,,,,,,2,b,0b,1bb,ba,2,,,,1,b,,,2 1,a,0a,,根据元素的互异性得或即为所求. ,,4,b,1,,1,b,,,2

12322aaa,,，27aa,，22,,,(38)aa 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、232aaaa，，，37 }，且A?B＝{2，5}，试求实数的值．

?А?В＝{2，5}，?2?A且5?A，

32,aaa,,，27则＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0， ?a＝－1或a＝1或a＝2． 当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A?B＝{2，5}矛盾，?a?－1．

当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，?a?1．

当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A?B＝{2，5}．故所求a的值为2． 2aq已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a?0，若A＝B，求q的值. 2a，d,aq,,a，d,aq,,,,2,,a，2d,aqa，2d,aq,,?A＝B ?(?)或 (?) 1 2由(?)得q＝1，由(?)得q＝1或q＝－． 1 2当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，?q＝－ 本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合， 确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集

4 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案

和数集混淆． 利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要检验．

注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性． 要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法

在解题中的应用． 1．交集：由

的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A?B，即A?B＝

． 2．并集：由

的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A?B，即A?B＝

． 3．补集：集合A是集合S的子集，由

的元素组成的集合，叫做S中子集A的补

集，记作CA，即CA＝

． SS 1．A?A＝

，A?＝

，A?B= ，B?A，A?A＝

， , A?＝

，A?B＝B?A , 2．CCA(),ACA,ACA,＝

，＝

，

． UUU 3．CAB(),, ， U CAB(),, ， U ,4．A?B＝A ,A?B＝A 2} 设全集mxx,,,10UR,，Mm,{|方程有实数根，Nn,{|方程2xxn,，,0 有实数根()CMN,}，求. U 当m,0x,,10,M时，，即； 11当m,0m,0,,，,140,m时，即m,,，且 ?m,,， 44 1,,?|CMmm,,, ,,U4,,

11,,而对于Nnn,,|n,N,,,,140,n，即，?. ,,44,, 5 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案

1,,? CMNxx,,,()|,,U4,, 62,,已知集合A=xxxm|20,,,,B= xx|1,R,,,,,,,x，1,, （1）当m=3时，求； ACB,()R

（2）若AB，求实数m的值. ,,,,xx|14,, 6x,5 由得?-1＜x?5,?A=. xx|15,,,,,,1,,0.x，1x，1 （1）当m=3时，B=，则=， CBxx|13,,,xxx|13,,,或,,,,R?xx|35,,ACB,()=. ,,R

(2)?A=?有42-2×4-m=0,解得m=8. xxABxx|15,|14,,,,,,,,,,,, 此时B=,符合题意，故实数m的值为8. xx|24,,,,, 已知Axaxa,,,，{|3},Bxx,,,{|1或. x,5}

(1)若aAB,,,求的取值范围;

(2) 若aABB,,求的取值范围.

a,,1,(1)AB,,,,,12a, ?，解之得. ,a，,35,

(2) ABB,AB,a，,,31a,5a,,4a,5, ?. ?或，

或

a?若aAB,,,则的取值范围是[1,2],；若,则的取值范围是ABB,,(,4)(5,),,,,，,. 222设集合A=B,，，，,,xxaxa|2(1)(5)0. xxx|320,,，,,,,, :（1）若AB求实数a的值； ,2,,, :（2）若AB=A，求实数a的取值范围； :（3）若U=R，ACB（）=A.求实数a的取值范围. U 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=1,2. ,, :,（1）?AB?2B，代入B中的方程， ,2,,, 6 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案 2得a+4a+3=0,?a=-1或a=-3; 2当a=-1时，B=满足条件； xx|402,2,,,,,,,,, 2当a=-3时，B=满足条件； xxx|4402,,，,,,,,, 综上，a的值为-1或-3. （2）对于集合B， 2,=4（a+1）2-4(a-5)=8(a+3). ,:?AB=A，?BA, ,?当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件； , ,?当=0，即a=-3时，B，满足条件； ,2,,,

,?当1,2.＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件， ,, 则由根与系数的关系得 5,a,,122(1)，,,，a,,,2即矛盾； ,,2125，,,a2,,a,7, 综上，a的取值范围是a?-3.

,:（3）?ACBCB（）=A，?A，?A B,,;UU ,a,,3,?若B=，则＜0适合； , :?若B?，则a=-3时，B=，AB=，不合题意； ,22,,,,a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）； ,, 2将1代入B的方程得a+2a-2=0 ,,,,a13.?a?-1且a?-3且a?-1 ,3. 综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞333 -1+. 3 2 已知集合A=B，试问是否存在实数,,,xxR|0xxaxx|(2)10,R,，，，,,,,,, :,,？a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. :方法一

假设存在实数a满足条件AB=则有 , :（1）当A?时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数， ,,,,,xxR|0,, 2设方程x+(2+a)x+1=0的两根为x,x,则由根与系数的关系，得 12 7 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案 2,,,(2，),4,0a,，,,(2，),0,,0;xxa解得a,12,,1,0xx12, （2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0. ,,

:综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+?）. ,2:方法二

假设存在实数a满足条件AB?，则方程x+(2+a)x+1=0的两实数根x，x至少12, 有一个为正， 因为x?x=1＞0，所以两根x,x均为正数. 1212 2aa,,,04或,,,,，,,(2)40a则由根与系数的关系，得解得 ,4.即a,,,,,a,,2xxa，,,，,(2)0,,12 又?集合的补集为 aa|4,,aa|4,,,,,,, :?存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+?）. , 设集合A={（x,y）|y=2x-1,x?N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x?N*}，问是否存在非零整数a,使A?B?？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由. ,

假设A?B? , yx,,21,有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0. ,2yaxaxa,,，,

2323由Δ?0，有（a+2）2-4a(a+1)?0,解得-.因a为非零整数，?a=?1 ,,a33

当a=-1时，代入（*x=0或x=-1,

而x?N*.故a?-1.当a=1时，代入（*）, 解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A?B?, , 此时A?B={（1，1），（2，3）}. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x?R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a2

,＋2＝0，x?R}，是否存在实数a，使得AB＝?若存在，求出实数的值；若不存在，说明 理由． a,A:B,1

1a集合CCA,CAB为不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取()(4)0axx,，,Ra 值范围．

（1）解得A=（-4，2）， B=,,,，,,31,AB,,,4,31,2 。

所以

，，，，,,,, 2（2）a的范围为,,a<0 2 8 7/18/2010 江苏省西亭高级中学2010届高三一轮复习教学案 在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字

语言． 集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运

算中运用数形结合思想． 对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要

有分类讨论的意识. 9 7/18/2010