3.1.2 指数函数教学设计和教学实录

3.1.2 指数函数

课标知识与能力目标

1.理解指数函数的概念．

2.掌握指数函数的图像和性质．

3.掌握函数图像之间的基本初等变换．

知识点1 指数函数

1. 指数函数的定义：yax(a>0，a≠1)．

2. 指数函数的图象与性质:

a＞1

0＜a＜1

图象

R (0，＋∞)

图象过定点(0,1) 单调增函数

x<0时，0

x=0时，y=1；

x>0时，y>1.

典型例题

考点1：指数函数的概念

例1 下列函数中，哪些是指数函数？

(1)y10；

(2)y10

xx(4)yx；

(5)yx(α是常数)；

(6)y(2a1)(a＞,a1)．

x

定义域

值域

性

质

定点

单调性

单调减函数

x<0时，y>1；

x=0时，y=1；

x>0时，0

(3)y4；

x12

考点2：指数函数的定义域和值域

例1 求下列函数的定义域与值域．

(1)y21x3；

(2)y42xx11．

考点3：利用指数函数的单调性比较大小

比较幂的大小的常用方法：

1.对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．

2.对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．

3.对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．

例1 比较下列各组数的大小：

151550.241-2(1)()与()4；

(2)()与1；

(3)0.8与()2．

646

考点4：利用指数函数的单调性解不等式

解指数不等式问题，需注意三点：

xxy1. 形如a＞a的不等式，借助ya的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

xx2. 形如a＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助ya的单调性求解．

xy3. 形如a＞a的形式，利用图象求解．

考点5：指数函数的最值问题

利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

，上有最大值14，则a的值是_______．

例1

函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[11]

（1）求f(x)的最小值；

（2）若f(x)＜0，求x的取值范围．

考点6：解指数方程

例1 解方程3x232x80．

考点7：函数图象的变换

函数图象变换的规律：

1.对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减，它只变其中的x，如2个单位y3x2左移y3(x2)2．

2.对于上下平移变换，可简单记作：上加下减，它是作用于解析式整体，如2个单位y3x2上移y3x22．

3.对于对称变换的特点：关于x轴对称：“y”变为“－y”；关于y轴对称：“x”变为“－x”．可简单记作关于哪个轴对称，哪个轴对应的变量不变，即对称变换只分别作用于x和y，与它们的系数无关．

x例1 利用函数f(x)()的图象，作出下列各函数的图象．

12(1)f(x1)；

(2)f(x1)；

(3)f(x)；

(4)f(x)；

(5)f(x)1．

考点8：指数函数的应用题

步骤：(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；

(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的

限制条件，加以概括；

(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；

(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．

例1 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：

(1)试写出x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式；

(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．

例2 某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满，问：哪一种方案可获得较多的成材木

材量？(参考数据：1.15≈1.61)

能力提优

题型1：数形结合思想

例1 当m为何值时，关于x的方程()12xm，

（1）有唯一解?（2）有两个不同的解?（3）无解?

x例2 若a＞0且a1，函数y|a1|与y2a的图像有两个交点，则实数a的取值范围是__________．

题型2：指数函数性质的综合应用

a2x1a例1 若函数y为奇函数．

2x1(1)确定a的值；

(2)求函数的定义域；

(3)求函数的值域；

(4)讨论函数的单调性．