3.1.2 指数函数教学实录与评析

指数函数图像及其性质（一）

韶关市田家炳中学 何振华

一、教材分析：

“指数函数图像及其性质”是高中《数学》人教版必修1的第2章内容，主要包括指数函数的概念，图像及性质，分两个课时完成。

通过第一课时对指数函数的定义，图像及基本性质的学习，一方面可以对指数和函数的概念等知识进一步巩固和深化，

另一方面，指数函数是进入高中以后学生遇到的第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的基础。所以《指数函数》不仅是本章的重点内容，也是高中学段的主要研究内容之一，有着不可替代的重要作用。此外，指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、学情分析：

1．知识层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念的学习后初步具备了数形结合的思想。

2．能力方面：学生已经初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。

3．情感方面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

三、教学目标：

1．知识与技能

(1)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质．

(2)体会数形结合的思想．

2．过程与方法

(1)能借助计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．

(2)展示函数的图象，让学生观察，进而研究指数函数的性质．

3．情感、态度与价值观

(1)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．

(2)培养学生观察问题，分析问题的能力．

四、教学重点：指数函数的的概念和性质．

五、教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．[来

六、教法分析：

由于《指数函数》这节课的特殊地位，我力图通过这一节课的教学，不仅使学生初步理解并能简单应用指数函数的知识，更引领学生掌握研究初等函数图象性质的一般思路和方法，为今后研究其它的函数做好准备。因此，在本节课的教法设计中，我贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，采用的教学方法主要有

： （1）直观教学，让图象发挥作用。在数学学习过程中，图形始终是我们需要借助的重要辅助手段。而在研究指数函数的性质时，图象发挥了主要的作用。因此，我借助多媒体教学手段作出多个指数函数图象，使其图像特征直观地呈现出来，为学生研究函数性质做好充分准备，很好地突破难点和提高教学效率。

（2）小组合作式教学，让每一位学生都来参与。教学过程中，让学生分组完成作图，进行讨论、交流、归纳。一方面可以加强学生之间的合作和交流，使他们在思想的碰撞中产生深刻的认识，并能帮助数学学困生克服学习障碍；另一方面，把研究的主动权交给学生，确立了他们的主人翁地位，变“要我学”为“我要学”。

（3）分层教学，让人人都有事做。由于学生在基础和能力上存在差异，因此在设计问题、例题时都进行了分层，注意设置梯度，由易到难，层层递进，充分调动不同层次学生的积极性。

七、教学过程：

（一）新课导入

实验1: 一张纸对折1次可得2张，对折2次可得4张．．．请你写出一张纸对折后所得张数与折的次数x的函数关系式．

思考：如果一张纸的厚度是1毫米，则折5次后这张纸是多少毫米？折42次后这张纸又是多少毫米？

实验2: 我国古代伟大哲学家庄子在《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世

不竭”。请你写出取x次后，木棰的剩留量思考与讨论：

（1）函数 y()x在形式上有何共同特点？

y2x与函数 （2）你能否写出类似结构的函数表达式？ （3）能否将上述几个具体的函数表达式统一写成一般的函数表达式呢？ 设计意图：用学生比较熟悉的实例，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数y2x、y()分别以a1或0a1的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。同时让学生感受到指数函数的变化，激发学生学习新知识的兴趣和欲望。

yy与x的函数关系式。

1212x

（二）新课教学

1：指数函数的概念

x一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，它的定义域是R.

思考1：指数函数的特点:

y1a系数为1 x自变量仅有这一种形式

底数为正数且不为1 例1、判断下列函数是否是指数函数： （1）y4x （2）yx4 （3）y24x （4）y(1)2x

2x（5）y(4) （6）y4x （7）y4 （8）设计意图

：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。

xy4x1

x小结：判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合ya(a0,且a1)这一结构形式，其具备的特点有三个。

xya(a0,且a1)中，为什么规定a0,且a1呢？

思考2：在函数用几何画板讲解

(1)如果a0，比如y(4)x，这时对于x以没有研究的价值；

当x0时，ax0(2)如果a0，；

x当x0时，a无意义11，x等，在实数范围内函数值不存在，所42(3)如果a1，y1x1，是个常值函数，没有研究的必要；

设计意图

：对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；讨论出a0,且a1，也为下面研究函数性质时对底数的分类做准备，并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。

2：指数函数的图像和性质

1xxy2与y()的图像。

问题1：请大家画出 2

问题2：根据所画的这两个函数图像回答下列问题

1．这两个函数的图象有无交点？

思考1：其它指数函数会经过这个点吗？

2. 这两个函数的图象与x轴有交点吗？

思考2：其它指数函数与x轴有交点吗？

3．这两个函数的图象分布在哪几个象限？

思考3：其它指数函数图象也分布在这两个象限吗？

4．这两个函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？奇偶性如何？

思考4：其它指数函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？奇偶性如何？

用EXCEL画图

x -3 -2 -1 0 1 2 3

设计意图：注重引导学生用特殊到一般的方法探究指数函数图象的形成过程，加深感性认识。要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。 y

0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

问题3：总结出指数函数yax的性质？

(定义域、值域、特殊点、单调性、函数值的变化、奇偶性)

底数

图像

定义域

值域

性

质

单调性

奇偶性

过定点

当x>0时，___________

函数值的变化

当x<0时，___________

当x<0时，___________

当x>0时，___________

0

a>1

设计意图：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a对于函数值变化的影响。对于0a1或a1时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合，教师亲自板演，学生以表格的形式归纳总结指数函数的性质，目的是使学生加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

例2、比较下列各题中两个数的大小：

(1)1.52.5与1.53.2； (2)0.51.2与0.51.5； (3)1.50.3与0.81.2

小结：比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其它数值．

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

xya(a0,且a1)的图像怎么变化？

a问题4：底数变化，则例3、下图分别是函数①y是下列四数：2、ax；②ybx；③ycx；④ydx的图象，a、b、c、d分别431、、中的一个，则相应的a、b、c、d应是？

3105

设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数变化情况。为下一节课讲授指数函数图像随底数a变化规律作准备。

八、课堂小结：

1、指数函数的概念；

2、指数函数的图象与性质：

设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

九、作业：

必做题：P59 第7题 选做题：

设计意图：课后思考的安排，激发学生的学习兴趣，并为下一节课讲授指数函数图像随底数a变化规律作铺垫。

十、板书设计：

指数函数图像及其性质（一）

1、定义

2、图像和性质

例题

小结

幻灯投影

十一、教学设计说明：

1、抛出两个例子，需要建立一个关于指数函数的数学模型，为学生提出问题；提高学生学习新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。

2、用简单易懂的实例引入指数函数概念，体会由特殊到一般的思想。

3、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究2个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。

4、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。

十二、教学反思：