3.4.1 函数与方程ppt课件教学实录

高考直通车·2015届高考数学一轮复习备课手册

第16课 函数与方程

一．教学目标

1．理解函数零点的概念，函数零点与方程根的关系；. 2．利用函数与方程、分类讨论、数形结合、化归等数学思想与方法解决函数、方程、不等式等有关问题. 二．基础知识回顾与梳理

1.试判断函数F(x)x3x1的零点的个数. 【教学建议】本题主要帮助学生复习函数零点的概念，以及掌握在解决此类问题时所渗透的数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法. 教学中可做如下设问：

问题1 函数零点的定义是什么？

问题2 函数的零点与方程的根有何联系？

（1）直接法：根据问题1的解答可以引导学生通过导数研究F(x)的单调性进而画出函数F(x)图像的草图，寻找F(x)与x轴的交点个数来解决问题. 33（2）间接法：根据问题2的解答可以引导学生将xx10

整理成

x1x

或者f(x)x21f(x)x12或者的交点个数问x1的形式进而化归到两个函数图像1xg(x)1xg(x)x3题. 【点评】判断函数F(x)的零点情况一般可以通过数形结合直接研究函数yF(x)图像与x轴的交点的横坐标，如若研究F(x)的图像不易也可以将方程F(x)=0拆分成两个所熟悉函数f(x)与g(x)的差的形式即f(x)g(x)0,进而研究函数yf(x)与yg(x)图像的交点的横坐标. 2.已知函数F(x)xx1的零点为a，且a[0.5n,0.5n0.5],nN，根据上题结论求n的值. 【教学建议】

本题主要帮助学生复习函数有零点的重要结论：“函数yf(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)0,则函数yf(x)在区间（a,b）上有零点”和“二分法”. 【点评】1.函数yf(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)0,是函数yf(x)在区间（a,b）上有零点的充分不必要条件，可以引导学生举例说明. 2.使用二分法找近似解的一般步骤：首先画图像宏观把握（通过图像直观的观察解的个数以及所处的大致区间），其次利用二分法微观精确处理（通过解所在的大致区间用二分法的数值计算）. 三、诊断练习

1.教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏.上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误. 2.结合课件点评。必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程. 3.诊断练习点评

题1设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间

【分析与点评】

关键在于理解二分法的本质，理解函数与方程的思想。

题2函数f(x)()lgx零点的有

个。

【分析与点评】与知识回顾的第1题相呼应，进一步巩固数形结合的思想方法。

本小题可追问一个变式问题：函数f(x)()lgx的零点所在区间为[m,m1](mZ)，312x12x

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则m 解析：由图象不难看出，零点所在区间应为0,1，故m0。此变式可为题3做一个过渡

题3如果方程(a1)xa0有解,则实数a的取值范围是__________.

【分析与点评】

第一步：“有解”问题和“恒成立”问题解决方法类似，常用数形结合或分离变量

第二步：af(x)有解，a的范围即为f(x)值域。

题4 若方程lnx2x60的根为x0，则小于x0的最大整数是

. 【分析与点评】读题很重要。将方程lnx2x60变形为lnx62x，作出f(x)lnx和g(x)62x的图像初步判别，作图越精确，答案越可靠．

四、范例导析

例1已知关于x的方程2kx2x3k20的两实根一个小于1，另一个大于1求实数k的取值范围．

【变式训练】设a为常数，试讨论方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数. 【教学处理】例1由学生口答，说思路、说方法。变式训练应进行充分讨论，讲思路、讲方法，展示解题过程．

【引导分析与精讲建议】

1画出满足题意的（1）

已知二次方程根的范围求系数范围称为根的分布问题，解决方法：○图像

2列出图像对应的等价代数关系式

○（2）提出问题：对数方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)可以化简吗？怎么化简？ 通过上述问题的交流，将复杂的对数方程转化到我们所熟悉的二次方程

，注意等价变形的范围问题。

引导学生分离参（x1）(3x)ax（1x3）量a（x1）(3x)xx25x3(1x3) 2ax25x3

即，构造函数yx25x3(1x3)

1x3和ya,作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：

1313当1a3或a时，原方程有一解；当3a时，原方程有两解；

4413当a1或a时，原方程无解. 42例2

已知f(x)2ax2x3在区间(0,1)内有零点，求实数a的取值范围．

3 2 1 O 1 2 3 4 x52y=【教学处理】教师提出问题进行师生交流讨论，在讨论的基础上教师示范板书并点评. 【引导分析与精讲建议】

可提出以下问题与学生交流：

（1）

关于“函数零点问题”我们学过什么定理？（零点判定定理）

函数、方程、不等式三者有何相互联系？“函数零点问题”还等价于什么问题？（根的分布）

（2）

如何确定一元二次方程的“根的分布”？（引入方程对应的函数，画出符合条件的函数图象，列约束条件）

（3）

画图时如何做到不重不漏？（分类）按什么标准分？

【典型错误】

①

若a0，则f(x)2x3，令f(x)0x3(0,1)，故a0；

2

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424a0②

若a0，则当f(x)在(0,1)上有一个零点时，此时，

无解；

1012a1a424a0611 当f(x)在(0,1)上有两个零点时，此时01a

，无解．综上，22a1f(0)f(1)0a2实数a不存在．

（4）

上述过程有什么错误？如何修正？

正解如下：

3(0,1)，故a0；

21②当a0时，零点在(0,1)时有一个，则

f(0)f(1)0a；

2a0a00011零点有两个时，01 或 01无解．综上，实数a的取值范2a2af(0)0f(0)0f(1)0f(1)01围为(,)．

2①若a0，则f(x)2x3，令f(x)0x或者转化为含参方程进行讨论．

提出问题：参数能否分离？分离后可化为什么问题？

32x(0x1)，

22x331111令tt(1,)，则at2t(t)2，显然a．

22362x2令2ax2x30，得a【点评】二次项系数含参时，一定要对参数是否为0进行讨论;零点分布（根的分布、含参方程有解）问题优先考虑参数分离法（参数分离后化为函数求值域），其次才是图象法.

例3. 已知方程x21x1kx有两个不等的实数根，求实数k的取值范围

【教学处理】教师提出问题进行师生交流讨论，在讨论的基础上教师示范板书并点评

【引导分析与精讲建议】

（1）原方程有两个不等根，等价于什么？函数y两个交点

(2) 函数yx21x1的图像与函数ykx的图像恰有x21x1(3) 函数ykx的图象有什么特征？参数k的几何意义是什么？

（4）经过步步引导，鼓励学生画出图象，根据图象写出斜率k的范围

是一个分段函数，如何绘制它的图象？

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点评：本题不仅考查了函数图象交点和方程零点之间的关系，还综合考查了分段函数图象以及直线斜率等知识，有一点的综合性。教学中需注意分散难点，给予学生必要的帮助和指导。

a【备选题】：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：

2b3(1)a>0且－3<<－；

a4(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|

(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0. 2又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0. b3又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－. a4(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c. a①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零2点．

a②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，

2∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．

(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，

bc3b则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－. aa2ab3bb2∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝－2－－－＝＋＋2. a2aab357∵－3<<－，∴2≤|x1－x2|<. a44

五、解题反思

1、函数零点的性质：如果函数yfx在区间a,b

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.. 思考：（1）如果函数yfx在区间a,b

上的图象是连续不断的一条曲线，57. 4fafb0是函数yfx在区间a,b内有零点的充分不必要条件. （2）将“区间a,b”改为“区间a,b”，是否有上述结论？

2、函数零点、方程的根、不等式解的端点的关系

（1）函数yfx的零点.函数yfx的图象与x轴交点的横坐标方程fx0的实根不等式fx0或fx0的解的端点. （2）对于方程在指定范围内有解问题一般可采用分离参数将转化为研究函数的值域问题，特别地，对于含有参数的一元二次方程在指定范围内有解问题也可用方程根的分布解决，但优先考虑参数分离法.