阅读与思考 集合中元素的个数教案和课堂实录

1．1．1算法的概念

一、教学目标：

1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。

2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：

重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具：

学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器

四、教学设想：

1、

创设情境：

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。

2、

探索研究

算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

3、

例题分析：

例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

2例2 用二分法设计一个求议程x–2=0的近似根的算法。

算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：

2第一步：令f(x)=x–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。

第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。

第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。

第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。

小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性

典例剖析：

1、基本概念题

x-2y=-1,①

例3 写出解二元一次方程组 的算法

2x+y=1②

解：第一步，②-①×2得5y=3；③

第二步，解③得y=3/5；

第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5 学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？

老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组1A1xB1yC10(A1B2B1A20)的解的算法：

AxByC0222第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③

第二步：解③，得yA2C1A2C2；

A1B2A2B1第三步：将yA2C1A2C2B2C1B1C2代入①，得x。

A1B2A2B1A1B2A2B1此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：

第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；

第二步：计算xB2C1B1C2ACA2C2与y21

A1B2A2B1A1B2A2B1第三步：输出运算结果。

可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题

例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。

解：算法如下。

S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。

S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。

S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。

S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。

老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S1 max=a S2 如果b>max, 则max=b. S3 如果C>max, 则max=c. S4 max就是a,b,c中的最大值。

综合应用题

例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。

分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=根据加法运算律简化运算过程。

解：算法1：

S1：计算1+2得到3；

S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；

S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；

S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；

S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。

算法2：

S1：取n=6；

S2：计算n(n1)进行，也可以2n(n1)；

2S3：输出运算结果。

算法3：

S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；

S2：计算3×7；

S3：输出运算结果。

小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。

学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。

老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；

第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；

第三步，再将15乘以7，得到结果105；

第四步，再将105乘以9，得到945；

第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。

算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。

S1 使P=1。

S2 使i=3 S3 使P=P×i S4 使i=i+2 S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。

小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。

4、课堂小结

本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。

例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。

若用自然语言来描述可写为

（1）1:00从家出发到公共汽车站

（2）1:10上公共汽车

（3）1:40到达体育馆

（4）1:45做准备活动。

（5）2:00比赛开始。

若用数学语言来描述可写为：

S1 1:00从家出发到公共汽车站

S2 1:10上公共汽车

S3 1:40到达体育馆

S4 1:45做准备活动

S5 2:00比赛开始

大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。

5、自我评价 1、写出解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的一个算法。

2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）

6、评价标准

1、解：算法如下

S1 计算△=b-4ac S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1= S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。

2、解：算法如下：

S1 使i=1 S2 i被3除，得余数r S3 如果r=0，则打印i，否则不打印

S4 使i=i+1 S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。

27、作业：1、写出解不等式x-2x-3<0的一个算法。

2解：第一步：x-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。

2第二步：由x-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1

2评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：

第一步：计算△= b4ac；

222第二步：若△>0，示出方程两根x1,2{x | x>x1或x

bb24ac（设x1>x2），则不等式解集为2ab}；

2a第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x第四步：若△<0，则不等式的解集为R。

2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：

第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2；

第二步：若x1= x2；

第三步：输出斜率不存在；

第四步：若x1≠x2；

第五步：计算ky2y1；

x2x1第六步：输出结果。

3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；

第二步：计算yy1xx1；

y2y1x2x1第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；

第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；

第五步：计算S=1|m||n|；

2第六步：输出运算结果