小结教学设计

第二章

基本初等函数（Ⅰ）

章末归纳总结

一.教学目标

1.知识与技能

（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. （2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数,幂函数有关的问题. 2.过程与方法

通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数，幂函数的图像及性质. 3.情感、态度、价值观

（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. （2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点

重点：指数函数，对数函数及幂函数的图像和性质。

难点：灵活运用函数性质解决有关问题。

三、学法与教具

1、学法：讲授法、讨论法。

2、教具：多媒体。

四、教学设想

1、回顾本章的知识结构

2、专题学习

专题一

指数、对数的运算

1117－－2＋22

－(2－1)0；

[例1] (1)计算(0.027)3

－79lg2＋lg3－lg10

(2)计算；

lg1.8

112

(3)已知9a＝2b＝，求＋的值．

36ab11105253

－2[解析] (1)原式＝(0.3)3

－7＋2

－1＝－49＋－1＝－45. 339(2)原式＝1（lg2lg9lg10）1lg1821012＝＝. lg1.82lg1.81(3)对条件式等式两边各取以为底的对数得

6

a·log1

9＝blog1

2＝2. 6612∴＋＝log1

3＋log1

2＝log1

6＝－1. ab666小结 指数与指数运算，对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．

指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的． 对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．

专题二 数的大小比较问题

[例2] 比较下列各组数的大小：

(1)0.65.1,5.10.6，log0.65.1；

(2)log712，log812；

1111(3)a＝0.22

，b＝0.32

，c＝33

，d＝53

. 解：(1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log0.65.1<0，

所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1. (2)在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象，由底数变化对图象位置的影响，知log712>log812.

1111 (3)因为

0<<1，所以y＝x2

在[0，＋∞)上为增函数，所以0.22

<0.32

，即a

<53

，即c

<1,33

>1，所以b

(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；

(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；

(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．

专题三 指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

[例3] 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2

[解析] 设y＝(x－1)2，y＝logax.在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．

a>1，若0

loga2≥1，2

解得1

小结 该不等式与二次函数和对数函数有关，无法直接求解，可作出两函数的图象，利用数形结合思想观察两函数的大小关系．特别注意当对数函数的底数不确定时，要对a分a>1和0

2[例4] 设a是实数，f(x)＝a－x(x∈R)．

2＋1(1)证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；

(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．

[分析] (1)证明函数是增函数，可根据设值、求差、定号、得结论的步骤完成；(2)由奇函

数的性质得到函数解析式所满足的关系式，求解此式即可得a的值．

[解析] (1)证明：设x1，x2∈R，且x1

22x2－2x122则f(x2)－f(x1)＝a－x2－(a－x1)＝x2. 2＋12＋12＋12x1＋1∵x12x1>0，

∴2x2－2x1>0,2x2＋1>0,2x1＋1>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．

故不论a为何值，f(x)均为增函数．

(2)若f(x)为奇函数，

则f(－x)＝－f(x)，

即a－22＝－a＋x，

2＋12＋1－x2＋2·222∴2a＝x＋－x＝x＝2，∴a＝1. 2＋12＋12＋1经检验可知，当a＝1时，f(x)确定为奇函数．

[例5].设f(x)＝log11－ax为奇函数，a为常数．

x－12x

(1)求a的值；

(2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；

1x

(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>求实数m的取值范围．

2＋m恒成立，解: (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

1＋ax1－axx－1∴log1＝－log1＝log1. 2－x－12x－121－ax1＋axx－1∴＝，

－x－11－ax即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，

∴a＝－1(a＝1舍去)．

(2)由(1)可知

2x＋1f(x)＝log1＝log11＋x－1(x>1)，

2x－122令u(x)＝1＋(x>1)，对任意的1

x－122u(x1)－u(x2)＝1＋x－1－1＋x－1

122x2－x1＝. x1－1x2－1∵10，x2－1>0，x2－x1>0，

2x2－x1∴>0，

x1－1x2－1即u(x1)－u(x2)>0. 2∴函数u(x)＝1＋在(1，＋∞)上是减函数．

x－1又∵函数y＝log1u在(0，＋∞)上是减函数，

2

x＋1∴f(x)＝log1在(1，＋∞)上为增函数．

2x－1x＋11x(3)设g(x)＝log1－2，

2x－1x＋1由(2)知：函数y＝log1在[3,4]上是增函数，

x－121x又∵y＝2在[3,4]上是减函数，

x＋11x∴g(x)＝log1－2在[3,4]上是增函数．

x－123＋11319∴x＝3时，g(x)min＝g(3)＝log1－2＝－1－＝－. 8823－1又∵对任意x∈[3,4]时，g(x)>m，

x＋11x即log1－2>m恒成立，

2x－199－∞，－. ∴m<－，即所求m的取值范围是88小结 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．应熟练掌握它们的图象画法及特征，熟记它们的性质，特别要注意指数函数、对数函数的底数以及幂函数的指数在取不同值时对函数图象与性质的影响，并注意三类函数之间的联系．

专题四 分类讨论思想的应用

[例6] 求函数y＝loga(a－ax)(a>0且a≠1)的定义域和值域．

解：∵(a－ax)>0，∴a>ax. 当a>1时，x<1，则f(x)的定义域为(－∞，1)；

当01，则f(x)的定义域为(1，＋∞)．

∵ax>0，∴01时，loga(a－ax)

当0logaa＝1，函数f(x)的值域为(1，＋∞)．

综上所述，当a>1时，函数f(x)的定义域与值域均为(－∞，1)；当0

小结 由于指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的性质与α的取值有关，a，α变化时，函数的性质也随之改变；因此，在a，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论．

专题五

利用模型函数巧解题

[例7] 已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时有f(x)>0，f(－1)＝－2，求f(x)在[－2,1]上的值域．

[分析] 根据题中条件显然可猜测f(x)的模型函数为f(x)＝kx(k≠0)，欲求函数f(x)的值域，

关键是弄清它的单调性．

[解析] 设x10，

∵当x>0时有f(x)>0，∴f(x2－x1)>0. 又对任意实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

令x＝y＝0，则由f(0)＝f(0)＋f(0)得f(0)＝0；

再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x)为R上的增函数．

又f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＝－4，f(1)＝－f(－1)＝2，

∴当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4,2]．

小结 函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个模型函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．

五．本章归纳总结

1．指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法. 2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于yx对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数与对数函数的性质.

六.作业

1.设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，比较P、Q的大小． 2.完成周周练函数部分内容