小结课堂实录【1】

函数的奇偶性与周期性

一、教学目标：

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

二、教学重难点

教学重点：函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断

教学难点：函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用

三、教学过程

（一）知识梳理：

1、函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数

关于y轴对称

都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，奇函数

关于原点对称

都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

[探究]

1、列举常见的奇偶函数，如正余弦，正切函数等

2.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？

提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．

3．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？

提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 4．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？

提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

2.奇偶函数的性质及相关结论

①若奇函数的定义域包含0，函数图像必经过原点，即

f(0)0②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

3.函数周期性

(1)周期函数：

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．定义域一定为无限集。如：正余弦、正切函数为周期函数。

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

（二）考点链接

考点1. 函数奇偶性的定义及判断

31、（教材p35）判断函数

f

(

x

x



x

的奇偶性，并根据其奇偶性画出在y轴)

左边的函数图象。

解：对于函数

f

(

x

)



x



x

，其定义域为R，

因为对于定义域内的每一个x，都有

3

f(x)(x)3(x)

3

(xx)f(x)所以，函数

f

(

x

)



x



x

为奇函数。

思考：奇偶函数在对称区间内的单调性具有什么特点？

2、(2015·高考北京卷)下列函数中为偶函数的是(

) 3A．y＝x2sin x

B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x|

D．y＝2－x [解析] 因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝ln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；1xD选项为指数函数y＝2，是非奇非偶函数．



小结：规律方法：判断函数奇偶性的常用方法及思路

①定义法

②图象法

考点2. 利用函数奇偶性求解析式或求值

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(B

) 1111A．－3

B．3

C.2

D．－2

2.(2017·全国甲卷文·T14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)

时,f(x)=2x3+x2+c（c为常数）,则f(2)=____12__

3.（教材P39）

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________．

[解析] 当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．

思考：能否用图象法呢？

规律方法：

利用函数奇偶性求解析式或求值的注意以下几点：

1、若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0；

2、若已知函数具有奇偶性，则其定义域必然关于原点对称；

3、掌握函数奇偶性的定义及图像性质，灵活利用定义法及图象法解决函数奇偶性问题。

考点3.函数奇偶性与周期性、单调性的混合应用

1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 017)＝____1____．

2．(2016·高考四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

x[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)5511＝f(x)，所以f－2＋f(2)＝f－2＋2＋f(0)＝f－2＋0＝－f2＝－4＝－2.

3. 已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)

) A．f(－1)

B．f(0)>f(－1) C．f(－1)

D．f(－3)>f(－5) [解析]函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，

又3>1，且f(3)

由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．

选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．

选项B中，0>－1，故f(0)

同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)0的解集为(

) A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)

B.(－4，－2)∪(2，4) C.(－∞，－4)∪(－2，0)

D.(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4) 【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝f(2)＝f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，

12

－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4).

规律方法：

关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

（三）课堂小结：

三个定义：奇函数、偶函数、周期函数

两种方法：定义法、图像法

两种思想：数形结合思想、划归与转化思想

（四）作业布置

完成优化方案A本第二章第四讲