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课题

函数与方程的思想在解题中的应用（2课时）

1、教学内容解析

（1）对函数与方程思想的内涵界定：

函数思想就是利用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．把这种数量关系表示出来，再利用函数的性质和图象去分析问题、转化问题，从而使问题获．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．解．方程思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．问题，然后通过解方程（组）或者通过方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获解．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的融合，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．

函数与方程的思想和方法几乎渗透到了中学数学中的各个领域，广泛的运用于解题之中，也是高考数学对通性通法考核目标要求中的核心思想之一．

（2）对函数与方程思想的教情分析：

对于函数与方程思想的教学，在高一和高二新课的教学中，通常已经在蕴含有函数与方程的思想的相关教学内容中得到了逐步渗透．

在高三的教学中，应在原来渗透的基础上，对函数与方程的思想进行进一步的挖掘、提．．．．．．．．炼、总结和提升，提高学生对数学本质的认识，让函数与方程的思想方法成为学生解决问题．．．．．．．的有效策略和锐利武器．

数学思想方法的教学要切合学生的认知水平，不能盲目的拔高，把其强调到不适当的高度．关键是加强对思想方法教学的重视，引导学生对思想方法的掌握和运用，只有学生通过．．．．．．自己的参与，才能逐步地从感性发展成理性、从潜意识上升到有意识．正如波利亚所说：“思．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．想应该在学生头脑中产生出来”．

教学目标：

（1）通过剖析典例的解题过程，引导学生提炼函数与方程思想的内涵；

（2）通过反思学案的解题过程，学生体会何时想到和怎样运用函数与方程的思想解题；

（3）通过回顾以往解题的心路历程，学生归纳总结运用函数与方程思想解题的要领；

（4）通过总结本课的学习成果，引导学生升华对函数与方程思想的普适性的认识；

教学重点：从以往解题过程中提炼函数与方程思想的内涵，领悟如何从题目中挖掘运用函数与方程思想解题的关键信息，以及运用函数与方程的思想解题的应用价值．

教学难点：怎样想到运用函数与方程思想解题，以及运用思想解题的关键信息的挖掘．

课例1、

x22,(x0)1、函数f(x)的零点个数是

. 2x6lnx,(x0)

1

222、方程x2xa1,(aR)的解的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 3、直线l:ykx与曲线C：yx34x23x顺次相交于A,B,C三点，若ABBC,则k(

) A.

5

B.511

C.

D.

9224、设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图像分别交于M、N两点，则当MN达到最小时t的值为（ ）

A.1 B.152 C. D. 222类比：直线ym与y2x3及曲线yxex分别交于A、B两点，则AB的最小值为 课后练习

(1)函数f(x)2xlog0.5x1的零点个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 ⑵已知x(log10.5)(y)(log10.5)y，则实数x,y的关系是（

）

3313x13A．xy0

B．xy0

C．xy0

D．xy0

课例2、

'

1、设函数f(x)是奇函数f(x),(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf'(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________. '2、设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf'(x)x2，则不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集为

A.(,2012)

B. (2012,0)

C. (,2016)

D. (2016,0)

课后练习：

'若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式f(x)31

xe(e为自然对数的底数)的解集为(

)

A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)

2

C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)

课例3、

1、长度都为2的向量OA，OB的夹角为90，点C在以O为圆心的圆弧AB

(劣弧)上，OCmOAnOB，则mn的最大值是(

) A．1

B.023

C．2

D.3

32、如图所示，圆O为正三角形ABC的内切圆，P为圆O上一点，向量APxAByAC，则xy的取值范围为（ ）

11111A．,1 B．,1 C．,1 D．,

23432课例4、

1、已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是________．

2、

当x2,1时，不等式axx4x30恒成立，则实数a的取值范围是32________．

课例5、

已知数列an是各项均为正数的等差数列．

(Ⅰ)若a12，且a2,a3,a41成等比数列，求数列an的通项公式an；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn任意的nN，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值．

课后练习：

已知等比数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，且S342，

16a2a6a3a7． （Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bn课例6、

11Sn1Sn21，若对S2n111，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn．

(log2an)(log2an1)32x2y21上的点,则P,Q两点间的最大距离1、设P,Q分别为圆x(y6)2和椭圆1022是(

) A.52

B.462 C.72

D.62

3

x2y22、椭圆C:221的上顶点为B，过点B做互相垂直的动直线l1,l2与椭圆的；另一个ab交点分别为P,Q，若当l1的斜率为2时，点P的坐标为(,)

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线PQ与y轴相交于点M，设PMMQ，求实数的取值范围。

课后练习：

已知点F为抛物线E:x24y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，CF为半径的圆与y轴交于D,F两点，且CDF为正三角形. （I）求圆C的方程；

（II）设P为l上任意一点，过P作抛物线x24y的切线，切点为A,B，判断直线AB与圆C的位置关系. 总结：数学思想是数学知识的精髓，是数学思维的内核，是知识转化为能力的催化剂．在学生对函数与方程思想的普适性认识比较模糊，尚未形成运用函数与方程的思想解决问题的有效思维流程的前提下，更要通过思想方法的复习，让同学们学会多想少算，领悟函数与方程的思想方法体现出的融合、统领、层次的特点．正如F.克莱因（F.klein）所言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”．

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