习题2.1教案（名师）

本节课是高中《数学必修一》（人教A版）第二章第二节《指数函数及其性质》的内容。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数、幂函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，起到承上启下的作用。

1.教学重点：指数函数的概念、图象、性质及其运用。

2.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程及图象与底的关系。

一．问题导学

知识点一

指数函数

思考

细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案

y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是

R.

知识点二

指数函数的图像和性质

思考

函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？

答案

函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：

a>1

0

图像

(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

性质

(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

(4)当x>0时，y>1；

x<0时，0

(5)是R上的增函数

(4)当x>0时，0

x<0时，y>1

(5)是R上的减函数

知识点三

不同底指数函数图像的相对位置

思考

y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？

答案

经描点观察，在y轴右侧，2x<3x，即y＝3x图像在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像上方．

梳理

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下

关系：

(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．

1x(2)指数函数y＝a与y＝a(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称．

x知识点四

比较幂的大小

思考

若x1

梳理

一般地，比较幂大小的方法有

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

二．例题讲解

例1：已知指数函数

分析：要求代入，即可求得例2：比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5

与

1.73

( 2 )与

(3 )

1.70.3

与

0.93.1

再把0，1，3分别（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

例3.截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：

1999年底

人口约为13亿

经过1年

人口约为13（1+1%）亿

经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿

经过3年

人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿

经过年

人口约为13(1+1%)亿

经过20年

人口约为13(1+1%)20亿

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为

当=20时，

亿，则

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.

小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数

.

三．达标检测

1．下列各函数中，是指数函数的是(

)

A．y＝(－3)x

C．y＝3x－1B．y＝－3x

1x

D．y＝3

2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(

)

A．a>0，且a≠1

B．a≥0，且a≠1

1C．a>2，且a≠1

考点

指数函数的概念

1D．a≥2

题点

根据指数函数的定义求参数

答案

C

1x3．下面关于函数y＝2与y＝2的性质的说法不正确的是(

)

xA．定义域都是R

B．值域都为R

C．单调性不同

D．均过点(0,1)

考点

指数函数的性质

题点

指数函数的性质

答案

B

解析

值域都为{y|y>0}．

4．若则a，b，c的大小关系是(

)

A．a＞b＞c

B．a

C．a

D．b