习题2.2第二课时教案

《对数函数》教学设计

一、教学目标

1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，使学生感受科学的发展源于实际生活；

2.初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

3.通过类比指数函数的学习，启发学生发现指数函数与对数函数的关系，并通过指数函数图象的性质发现对数函数的性质；

4.学生通过类比、归纳得出对数函数的相关性质，培养学生的类比、归纳思想，在探索新知的过程中，学生通过交流、合作得出新知.

二、教学重难点

教学重点：理解对数函数的定义、掌握对数函数图象的性质；

教学难点：通过找到指数函数和对数函数的关系，并归纳得出对数函数图象的特点.

三、教学过程

（一）复习回顾

1.对数是怎样定义的？

2.指数函数的定义域、值域和图象是怎样的？

【设计意图】：复习对数和指数函数的知识，为今天所学的内容做铺垫.

【教学反思】：此处为后面的内容作铺垫，学生回答的也很流利，但此处2的复习总显得有些突兀，其实这个问题可以放在后面讲对数函数的图像之前.

（二）问题情境

1.在细胞分裂问题中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数

y＝2x.

(1) 分裂成64个细胞需要多少次？

(2) 分裂成a个细胞需要多少次？

(3) (2)中x是a的函数吗？为什么？

2.在3.1.2节例4中，某放射性物质经过时间x(年)与物质

的剩余量y的关系为y＝0.84 x.

(4) 类似情境1，你能用y表示x 吗？x是y的函数吗？

【设计意图】：以具体问题为背景，使学生体会对数函数来源于生活；同时，以指数函数为背景得出新的函数，为后面利用二者的关系研究对数函数做铺垫.

【教学反思】：此处的问题学生都回答得比较好，对于情境1中x是否为a的函数，学生回答得不是太好。课后反思应该进一步提出问题：指数函数和（2）中函数的关系，这样既有利于学生回答上述问题，还利于学生体会对数函数和指数函数的联系。

（三）讲授新课

1.对数函数的概念

一般地，函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数．

问题1：当a>0且a≠1时，y=ax与y=logax有什么关系？

问题2：对数函数的定义域、值域分别是什么？

【设计意图】：从指数函数和对数函数的关系，得出对数函数的定义域和值域，初步体会二者的关系.

【教学反思】：笔者本意是希望学生从前面的特殊过渡到一般情况的指数和对数函数的关系，但学生还处在高一，抽象能力不足，无法直接过渡，因此在问题情境中的两个特殊函数处应提出类似的问题，再过渡到一般，学生更容易接受。

2.学生活动【此处请学生谈谈研究对数函数图象的方案】

（1）分别在不同的坐标系中画出y=log2x与y=logx的图象.

问题3:这两个函数图象有何性质？

（2）.在第一个坐标系中画出y=2x的图象,在第二个坐标系中画出y=()x的图象.

问题4:观察同一坐标系下的图象有什么关系？

问题5:一般情况下,y=ax与y=logax 的图象有什么关系?

问题6:对照指数函数的性质，你发现对数函数有何性质？

【设计意图】：学生从作出具体图象入手，大致得出对数函数图象的特点；为了得出一般对数函数图象的特点，我们从指数函数入手，通过二者的关系，类比得出对数函数图象的特点。为此给学生设置两个作图和4个问题，加深对对数函数图象的理解，并加以归纳概括其特点.

【教学反思】：此处的设计笔者本意是想顺着学生研究指数函数的思路，从特殊的对数函数入手，先作图像后猜测结论，但为了验证一般的结论，我们可以利用指数函数和对数函数的关系，利用指数函数的图像来验证。但是将指对函数和对数函数分开画必然会浪费时间，而且没有想到利用ipad，只用了投影，比较浪费时间.

3.反函数的概念

y=ax称为y=logax的反函数；反之，y=logax也称为y=ax的反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f -1(x).

【设计意图】：这一部分内容只需要学生了解具体指数函数和对数函数互为反函数即可.

4.例题讲解

例1.求下列函数定义域.

(1) y=log0.2(4－x)

(2) y=loga(a>0,a≠1)

【设计意图】：加深对对数函数的理解，即对数函数的定义域为（0，＋∞）.

点评：关键抓住对数的真数大于0.

例2．比较下列各组数中两个值的大小.

(1) log23.4，log23.8；

(2)log0.51.8，log0.52.1；

(3) log75，log67 .

【设计意图】：比较对数值的大小需构造函数，以此加深对数函数图象的理解.

点评：底数相同时可以构造对数函数，利用单调性直接判断；

底数不同时，应找到中间值，构造两个不同的对数函数，

再借助单调性来判断.

【教学反思】：这两道例题不是特别难，主要是规范步骤。由于前面花的时间比较多，最后讲例题剩下的时间不多了。不过有了指数函数的基础，学生比较容易解决。

（四）练习反馈：

课本

P85习题2、4.

（五）小结

1.由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：

2.对数函数的图象和性质.

3.求形如y=logaf(x)的定义域时,需要利用对数的真数大于0,f(x)>0.

4.比较对数值的大小,需要借助对数函数或中间量.

作业：P87T1、2、3、7

（六）教学反思

1.本节课是在学习了指数函数和对数的概念及对数的运算之后的一节课，学生应该接受起来比较容易。尤其是指数和对数的关系，但是由于自己问题提的不够恰当，对高一学生的学情估计不准，导致前面的概念部分花的时间过多。问题教学是当下很典型的一种教学方式，但是问题的提出也是非常具有艺术性的，过细，过碎不好，问题过大也不好。因此，在设计问题的这个环节上，应该考虑学生的学情，考虑学生可能出现的情况。

2.关于对数函数图像这一部分内容的教学，自己擅自改动了书上的教学设计，我的本意是希望顺应学生的思路，从特殊到一般，再利用指数函数和对数函数的关系进行验证。殊不知，这样既浪费了时间，又违背了教材的设计意图。深究教材，教材是希望在研究对数函数时，可以区别于前面的指数函数，从类比二者的关系入手来找到对数函数的一般性结论。纵观本节的整个内容，都是围绕指数和对数函数的关系，无论是引入还是概念、定义域、值域等等，这也是本节内容的暗线，在此我并没有做得很好。

3.ipad教学对于展示学生的答案非常方便，自己在制定计划时没有想到，只想到了利用教室的投影，在投影和PPT之间切换，比较浪费时间。在现代信息化时代，我们也应该和时代接轨，利用最先进的科学技术来处理问题，既让学生学到东西，还能节约时间。

对数函数 [学业达标] 一、选择题

1．已知a＝log32，则log38－2log36＝(

) A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1 【解析】

log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 【答案】

A 2．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(

) A．2 B. C．100 D. 【解析】

∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由韦达定理得：lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.故选C. 【答案】

C 3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(

) A. B．10 C．20 D．100 【解析】

＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝.故选A. 【答案】

A 4．化简的结果是(

) A. B．1 C．2 D．4

【解析】

由对数运算可知：lg(lg a100)＝lg(100lg a)＝2＋lg(lg a)，∴原式＝2. 【答案】

C 5．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为(

) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】

logax＝＝2，∴logxa＝. 同理logxb＝，logxc＝. logabcx＝＝＝1. 【答案】

A 二、填空题

6．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________. 【解析】

∵3a＝2,3b＝，∴a＝log32，b＝log3＝－log35，

∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20. 【答案】

20 7．计算100－log98·log4＝________. 【解析】

100－log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2. 【答案】

2 8．已知x，y∈(0,1)，若lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________. 【解析】

lg(x＋y)＝lg x＋lg y＝lg(xy)x＋y＝xy，

lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg 1＝0. 【答案】

0 三、解答题

9．求值：(1)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；

(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57. 【解】

(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3. (2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝. 10．2015年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)．

【解】

设经过x年国民生产总值为2015年的2倍．

经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，

经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，

…

经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，

∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2. ∴x＝≈≈9.

故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．

[能力提升] 1．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(

) A．3 B．8 C．4 D．log48 【解析】

由2x＝3，得x＝log23. ∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋

＝log23＋(3log22－log23)＝3. 【答案】

A 2．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．

【解析】

由题意知

解得x＝4.

【答案】

x＝4 3．已知x3＝3，则3log3x－logx23＝________. 【解析】

3log3x＝log3x3＝log33＝1，

而logx23＝log33＝log33＝，

∴3log3x－logx23＝1－＝－. 【答案】

－

4．已知lg a，lg b 是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．

【解】

由题设，得lg a＋lg b＝2，lg a ·lg b＝. 所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝2×＝12.