小结优质课一等奖

3.1.1

方程的根与函数的零点（教案）

第一课时

教学目标

1、知识与技能

（1）了解函数零点的概念；

（2）理解函数的零点与方程的根的联系；

（3）掌握函数零点存在的判断方法。

2、过程与方法

（1）通过自主探究，合作交流，经历“特殊→一般”、

“类比→归纳→应用”的过程，领会函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；

（2）感悟由具体到抽象的研究方法；

（3）培养学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观

（1）体验探究的乐趣；

（2）认识到万物的联系与转化，培养学生用联系的观点看问题；

（3）养成严密思考的良好学习习惯。

教学重点与难点

1、教学重点

理解函数的零点与方程的根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。

2、教学难点

准确理解概念，探究发现函数零点存在的条件。

教学过程

（一）课前热身，新课导入

求解下列方程的根：

(1)2x20

(2)x22x30

(3)2x20

(4)lgx10

思考：如何求解方程lnx2x-60的解？

设计意图：

让学生经历由熟悉到陌生的过程，利用复杂无法求解的方程，造成学生的认知冲突，引发学生的好奇心和求知欲。此时开门见山地提出用函数的思想解决方程根的问题，点明本节课的课题。

1

（二）启发引导，形成概念

探究：方程与函数的联系

设计意图：

以实例说明方程、函数、函数图象三者的关系，渗透数形结合的思想，为一般的方程与其对应函数的关系作准备。

思考：上述结论对于一般的方程与其对应的函数是否也成立？

(1)2x20与y2x2

(2)2x20与y2x2

(3)lgx10与ylgx1

推广：方程fx0有实数根对应函数yfx的图象与x轴

方程fx0不相等实数根的个数对应函数yfx的图象与x轴

x0是方程fx0的实数根对应函数yfx的图象与x轴

设计意图：

结合课前热身已解决的方程的根的问题，通过观察相应函数的图象，将由一元二次方程与相应二次函数得出的结论推广到一般的方程与其对应函数，再一次体会方程与函数的联系，为引入“函数零点”的概念打下基础，体现了由特殊到一般的思想，培养学生的思维能力和归纳能力。

●函数的零点的定义：

对于函数yfx，我们把

，叫做函数yfx的

。

注：零点不是点，是实数。

2

●

等价关系：

方程fx0有实数根

函数yfx的图象与x轴有交点

函数yfx有零点

●零点的求法：

法和

法

●练习一：

(1)下图中函数的零点有

(2)函数fxx24x12的零点是

A．6,0,2,0

B．x6或x2

C．-6和2

D．以上都不对

(3)若函数fx是定义域为R的奇函数，且fx在0,上有一个零点，则fx的零点个数为

A．3

B．2

C．1

D．不确定

11,x0(4)求函数fxx的零点. 2x4,x0

设计意图：

巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求相应方程的实数根，或者通过函数图象寻找图象与x轴交点的横坐标，再一次明确函数的零点是一个实数，不是一个点。

（三）自主探究，揭示定理

引例：右图是某市1月份的某一天从0点到12点的气温变

化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整

的函数图象。

思考：这段时间内，是否一定有某一时刻的气温为0度？

设计意图：

通过实际问题直观演示函数的连续性，激发学生的学习兴趣，并由此类比探究函数零点存在性定理。

3

类比：假设函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列三种情况下经过A、B两点的可能的函数图象。

猜想：函数yfx的图象在区间a,b上连续，如果有

，那么函数在区间a,b上有零点。

设计意图：

通过小组讨论，引导学生寻找零点存在的条件，培养学生的动手实践能力；将函数的零点转化到图象上来，使抽象的问题直观化，更利于学生理解定理的本质；定理的发现过程体现数形结合的思想和转化的思想。

●函数零点存在性定理：

如果函数yfx在区间

上的图象是

的一条曲线，并且有

，那么，函数yfx在区间

内有零点。即存在

，使得

，这个c也就是方程fx0的

。

（四）例证辨析，熟悉定理

●练习二：判断下列结论是否正确，若不正确，请画出相应函数图象加以说明。

(1)已知函数yfx在区间a,b上图象是连续的，且fafb0，则yfx在区间a,b内有且仅有一个零点。

（

）

(2)已知函数yfx在区间a,b上图象是连续的，且fafb0，则yfx在区间a,b内没有零点。

（

）

(3)已知函数yfx在区间a,b上满足fafb0，则yfx在区间a,b内有零点。（

）

(4)已知函数yfx在区间a,b上图象是连续的，且存在零点，则fafb0

。

（

）

设计意图：

通过正误辨析题对定理中条件的改变，激发学生思考，加深学生对定理的全面理解，培养学生缜密思考和分析问题的思维品质。

4

（五）应用定理，典例分析

例1

已知函数fx的图象是连续不断的一条曲线，且有如下对应值表，则函数在哪些区间内有零点？

例2

函数fxlnx2x6在下列哪个区间有零点

A．0，1

B．1，2

C．2，3

D．3，4

●方法小结：利用函数零点存在性定理判断零点所在区间的步骤

(1)确定函数yfx在a,b上图象连续；

(2)通过计算判断fa、fb的符号；

(3)若fafb0，则函数yfx在a,b内存在零点。

设计意图：

通过例题分析，学会应用零点存在性定理确定零点存在的区间，并进行方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用。

（六）反思小结，提升境界

1、一个概念：函数的零点

2、一个定理：函数零点存在性定理

3、三种思想：函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想

4、三种题型：求函数的零点；确定函数零点所在区间；判断函数零点的个数

（七）学以致用，巩固提高

1、课本P88，练习1；P92，A组2；P112，A组1 2、《全优课堂》P7375

3、已知函数fx图象是连续不断的一条曲线，且有如下对应值表

那么函数在区间1,6上的零点至少有

个。

4、函数fxx3x1在下列哪个区间内有零点

A．1，0

B．0，1

C．1，2

D．2，3

5、方程2x3x70在下列哪个区间有实根

0

B．0，1

C．1，2

D．2，A．1，3

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