习题1.2优秀公开课教案

一、考点突破

1. 理解集合的概念及其性质；会用集合的表示方法表示集合。

2. 了解全集与空集的含义，理解两个集合的并集与交集、已知集合的补集的含义及其运算。能使用Venn图表达集合的关系及运算。

3. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

4. 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，了解简单的分段函数及应用。

5. 理解函数的单调性、奇偶性、最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

6. 理解基本初等函数的概念和意义，能借助函数的图象探索并理解函数的性质。

7. 会研究简单复合函数与基本初等函数的单调性和最值的求法。

8. 掌握函数的零点的概念以及求零点的技巧。

9. 了解函数模型的广泛应用。

[来源学*科*网Z*X*X*K]

高考要求：

主要考查

常见题型

数学思想

集合的概念与运算；函数的概念和基本初等函数。

选择题、填空题、解答题。

函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重难点提示：

重点：1. 集合的运算。2. 函数的概念和性质。

难点：1. 基本初等函数性质的应用。2. 函数与方程的应用。

集合及其应用

【考点精讲】

一、正确理解集合的概念

集合的概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示。如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA，读作“a属于A”。如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”。

二、集合内元素的三个基本特征

确定性：对任意对象都能确定它是不是某一集合的元素，就是说：对于某一个元素，要么它属于这个集合，要么它不属于这个集合，不会出现可能属于也可能不属于这种情况。

例如：对于集合｛x>1}，2就属于这个集合，而0就不属于这个集合。

再如：｛非常大的数｝就不是集合，因为1000000到底属于不属于这个集合，这很难说。

互异性：集合中的任何两个元素都不相同，即在同一集合里不能出现相同的元素。

例如：把两个集合{1，2，3，4}，{3，4，5，6，7}的元素合并在一起构成一个新集合，那么这个新集合只能写成{1，2，3，4，5，6，7}。

无序性：在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序。

例如：集合{a，b，c，d}与{b，d，c，a}表示相同集合。

三、注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，记作∅。空集是任意一个集合的子集，即A（A是任意一个集合），空集是任意一个非空集合的真子集，即A（A是任意一个非空集合）。在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性。例如：A＝{x∈R｜x2＝－1}＝，因为这个方程没有实数根，所以集合A中没有元素，是一个空集。再如，A⊆B，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况。

四、集合的运算

1. 并集的概念

（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：

2. 交集的概念

（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：

3. 补集的概念

（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A＝{x|x∈U，且xA}。

，阴影部分表示A。

（3）图形语言表示（Venn图）：

【典例精析】

例题1

已知A＝{a＋2，（a＋1）2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数2013a的值；

思路导航：加强对集合中元素特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意。

答案：（1）当a＋2＝1，即a＝－1时，

（a＋1）2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，

∴不符合题意。

（2）当（a＋1）2＝1，即a＝0或a＝－2时，

①a＝0时符合要求。

②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与（a＋1）2相同，不符合题意。

（3）当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1时，

①a＝－2时，a2＋3a＋3＝（a＋1）2＝1，不符合题意。

②a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意。

综上所述，a＝0。

∴2013a＝1。

例题2

x，x2－x，x3－3x能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说

明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合。

思路导航：分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。

答案：因为当x＝0时，x＝x2－x＝x3－3x＝0。

所以它不一定能表示一个有三个元素的集合。

要使它表示一个有三个元素的集合，

[来源学科网Z,X,X,K]x≠x－x，23则应有x－x≠x－3x，x≠x3－3x.2

∴x≠0且x≠2且x≠－1且x≠－2时，{x，x2－x，x3－3x}能表示一个有三个元素的集合。

[来源学科网]

1例题3

已知集合A＝{x|0

（1）若AB，求实数a的取值范围；

（2）若BA，求实数a的取值范围；

（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由。

思路导航：在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行分类讨论。分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答。

分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论。

答案：A中不等式的解集应分三种情况讨论：

①若a＝0，则A＝R；

14②若a<0，则A＝x|a≤x<－a；

14③若a>0，则A＝x|－a

（1）当a＝0时，若AB，此种情况不存在。

当a<0时，若AB，如图，

则1－a≤241>－a2

a>0或a<－8，∴1，

a>0或a≤－2

又a<0，∴a<－8。

当a>0时，若A⊆B，如图，

则4a≤211－≥－a2

a≥2或a<0，∴。

a≤2或a<0

又∵a>0，∴a≥2。

综上可知，当A⊆B时，a<－8或a≥2。

（2）当a＝0时，显然B⊆A；

当a<0时，若B⊆A，如图，

则1－a>241≤－a2

－8≤a<0，∴1。

－

1又∵a<0，∴－

2当a>0时，若B⊆A，如图，

则4a≥211－≤－a2

0

0

又∵a>0，∴0

1综上可知，当BA时，－

2（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，

A＝B。

由（1）、（2）知，a＝2。

【总结提升】

1. 正确区分，{0}，{} 是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0。{}是含有一个元素的集合。⊆{0}，⊆{}，∈{}，{0}∩{}＝。

2. 分类讨论的思想

（1）集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}。若BA，求实数m的取值范围？

①B，即m＋1＞2m－1 m12m1②B，需要满足m12

2m15（2）集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1

值范围是_____________。

可以分两种情况来讨论，一种是集合A在集合B的左边，一种是集合A在集合B的右边。

3. 数形结合思想

某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，画出集合关系图，并求出全班人数。

全班人数为55人。