小结精品学案

函数的单调性

一、设计思路

对学生来说，函数的单调性早已有所了解，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，常感到乏味。

因此，在设计教案时，引导学生经历直观感知、观察发现、

归纳类比的思维过程，

发展数学思维能力。22yxyx探究时先以基本初等函数为载体，针对y=x、，（x0）、（x0）的图象，依据循序渐进原则，设计几个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生理解增减函数定义。加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西。

二、教学背景分析

1.本课是人民教育出版社高中数学必修1第一章第三节的内容。函数的单调性是函数重要性质之一，应用非常广泛，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中相关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，通过对函数单调性的学习，可以利用函数单调性的定义判断某些函数的单调性及单调区间；比较两个数的大小；解方程或不等式；求函数的值域、最值等。

2.高一新生本身对函数的理解不是很透彻，准确进行逻辑推理比较困难。

三、教学目标

1.知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2.能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想和方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3.情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

四、教学重点、难点

重点：形成增（减）函数的形式化定义。

难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过度到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

五、教学过程

1.课前探究

观察以下各函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？

y y y 0 x 0 x 0 x

【设计意图】启发并引导学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

2.新课导入

知识探究一：

问题1：分别作出函数y=x，共同特征？

yx2，（x0），的图像，这两个函数图像分别是什么？二者有何y y 0 x 0 x

问题2：如果一个函数图象，从左自右逐渐上升，那么当自变量变化情况如何？

问题3：如图，函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1

x从小到大依次取值时，函数值y的

0 【设计意图】1）让学生体会函数y=x图象是上升的。

2）体会同一函数在不同区间上的变化差异。

3）指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述。

3.教学过程

问题4：我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”? 定义：一般的，设函数f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

【设计意图】从具体到一般引出增函数的定义。

（3）知识探究二：

问题1：考察下列两个函数

0 x

yx2，（x0），这个函数图像特征是什么？ y

问题2：我们把具有上述特点的函数定义为减函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”

定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

定义：如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间

【设计意图】得出减函数定义，并由此培养学生类比的能力。

2yx思考：如图，是函数的图像，我们能说该函数在R上是单调的吗？为什么？从中你又悟出了什么？（单调性是曲线的局部性质）

（4）例题讲解例1：如图是定义在闭区间[—5,5]上的函数函数yf(x)的单调区间，以及在每一区间上，yf(x)是增函数还是减函数？(根据图像说明一个函数的单调区间，单调区间的写法)

y y -2

- -5 0

1

3

5 x

5 x 【设计意图】巩固概念并培养学生的自学能力。

p例2：物理学中的玻意耳定律 (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。

证明：根据单调性的定义，设

kV0，V上的任意两个1,V2是定义域 实数，且

V1V2,则kkV2V1pVpVk12

V1V2V1V2

V,V0，由,得V1V20;12由

V1V2，得V2V10.

又k0,于是pV1pV20pV1pV2k所以，函数p,V(0,)是减函数。也就是说，

Vp将增大。

当体积V减小时，压强1思考：画出反比例函数yx的，证明你的结论。

的图像.这个函数的定义域I是什么？它在定义域I上的单调性是怎样

能否将证明过程归结成几个步骤？(指导学生学会归纳总结，形成一种技能)。利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

（1）

取值：任取x1，x2D，且x1

作差：f(x1)-f(x2)；

（3）

变形：通常是因式分解和配方；

（4）

定号：判断差f(x1)—f(x2)的正负; （5）

结论：指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 4.小结：

这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不能用并集的符号连结；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤。

5.作业

（1）课本P39页题1.3A组第1，2，3题（第一组同学做）

(2)课本P39页题1.3A组第2题（第二、三组同学做）

3(3)证明函数f(x)=x在R上为增函数。（全体学生思考并尝试解答）

六、板书设计

1、3函数的基本性质

二、定义

例2、

练习：

一、复习

增函数：

步骤：

1、3、1函数的单调性

注：

注：

小结：

七、教学反思

总的来说，本堂课是以学生为主体的。给学生以较多的活动机会，可总结为四点：（一）给学生观察的机会；（二）给学生思考的机会；（三）给学生发言的机会；（四）给学生练习的机会。这样，既调动了学生的积极性，又培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想。

八、教学设计评价

我注重鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既有我的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。精心创设适当的问题情境，激活学生的主体意识，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。

本设计采取了先复习初中学***方差公式、完全平方差公式、完全平方和公式，一次函数y=kx+b(k不等于零)的单调情况。为这节课学习函数单调性定义及利用定义证明函数在给定区间的单调性做好准备。

教学过程中我采取以下方法进行授课：

1.先通过观察一些熟悉的函数图象的升降趋势，形成增（减）函数的直观认识，再通过对具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，最后得出增（减）函数的形式化定义，这样的设计符合学生认识事物的一般规律。

2.函数单调性的研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，理解增函数、减函数、单调区间的概念。在这个过程中，让学生通过自主探究活动，来体验数学概念的形成过程，学习数学思考的基本方法，有助于培养学生的数学思维能力。

3.教学中应体现出学生的思维过程：

（1）通过图象的升降，得出：对于给定区间上的函数f(x)，如果函数的图象从左到右是上升的，则称它在这个区间上是增函数；如果函数的图象从左到右是下降的，则称它在这个区间上是减函数。

（2）通过表格中数据的增大或减小，得出：对于给定区间上的函数f(x)，如果函数值随自变量的增大而增大，则称它在这个区间上是增函数；如果函数值随自变量的增大而减小，则称它在这个区间上是减函数。

（3）以精确的数学符号语言表述：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

教师提出问题，让学生分组讨论，然后学生推荐代表发言。根据学生的不同回答，首先让其它组的同学予以纠正，充分发挥学生的力量；当学生碰到困难时，教师予以引导，点拨，最后统一结论。

鼓励学生自己出题，然后学生们尝试解决问题，激活学生的主体意识，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。

高中数学

教学设计

1.3.1函数的单调性

作者：甘慧敬

单位：唐山五中