复习参考题优秀教学设计内容

高考微专题函数与方程问题

——函数零点的解题策略研究

教材版本

人教A版高中数学 必修1 第三章

执教：林宏

指导、点评：陈玲

【教学设计】

授课人

研究课题

林宏

信息环境下高中数学个性化学习的模式与策略研究

授课时间

课型

2018.4.20 复习课

教材分析

本节课是高三二轮《函数与方程问题》专题复习，涉及的主要知识点“函数的零点”选自必修1第三章《函数的应用》第一节内容，函数的零点是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介，近年来已成为高考命题的新生长点与热点而备受青睐。

学生通过高一、高二的知识积累、一轮复习的知识整理，对函数的零点有了一定程度的认识，对解决函数零点的问题有了一定的经验，但对此类问题的认识还不够全面与深入，有待进一步的学习与研究。作为试验班的同学数学基础比较扎实，有一定数学研究的热情与能力，能对知识进行梳理与总结，能较好地表达自己的解题思路。

知识与技能

了解函数零点的概念，理解函数零点与方程根的联系，掌握零点存在的判定方法，能利用相应的数学思想方法解决相关的函数零点问题

通过课前的学习任务单的完成，课堂解题思路、方法的分享，形成初步的函数零点的解题策略；再通过变式提升、课堂检测反馈，对利用方程思想在求解精确零点，对零点间的关系有进一步的认识；总结归纳对函数零点的解题策略进行相应的补充。

体会数形结合的数学思想及转化思想在函数零点中的运用，体会方程思想在求解精确零点，判断零点间关系的作用，

通过学生间分享解题思路，畅谈解题方法，让学生对函数零点多角度的认知，更全面地掌握相关知识，形成体系，从而突出本节复习课的中点

通过设置研究任务，让学生分享解题思路，从学生的视野出发去突破难点，最后由老师点评、归纳，攻克难点

任务驱动、汇报教学、变式教学

学生活动

根据任务单完成相应的知识梳理、自我检测题、自我小结

科代表汇报自己的知识梳理（知识网络图）

拍照上传，让生生交流立体化

媒体作用及分析

学情分析

教学目标

过程与方法

情感、态度与价值观

教学重点

灵活掌握函数零点与方程根、图象交点横坐标间的转化；能利用数形结合、转化、方程思想解决零点问题

判断零点间的关系；复合函数的零点问题

智慧教室

教师活动

发布课前学习任务单

简述解决重、难点的措施

教学难点

教学环境

教学环节

课前

教学方法

教学过程

推荐科代表进行知识梳学生展示理，并给出评价，组织学知识归纳

生提问，完善知识归纳

分享思路对学生的分享作出评价

共同进步

学生分享解题思路，畅谈解题方法，倾听同伴的分析

通过“挑人”分析解题思路，若有不同想法，则通过“抢答”获得发言权，让每一位学生都有平等的机会表达自己的想法

通过IRS的即时反馈系统提供，精准掌握学情，微调教学内容，选择最佳的课堂活动方式

依次推送两个研究任务

1、

零点间的关系

变式提升2、

零点的个数问题

检测反馈

根据学生答题情况选择“挑人”还是“抢答”

引导学生从知识、思想方总结归纳法两个角度对本节课进分享收获

行总结

课后作业校本练习一份

巩固提升

学生独立答题，倾听同伴的分析，争取表达自己的想法

在老师的引导下，从知识、思想方法两个角度对本节课进行总结

【课堂实录】

师：函数的零点是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介，近年来已成为高考命题的新生长点与热点而备受青睐。今天，我们有必要一起进行“函数零点”的再学习，做进一步的研究。首先，请数学科代表张同学给我们解读他的“零点世界”。

一、【学生展示，知识归纳】

生1：首先我回顾的是函数零点的定义，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。这样函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，就是函数y=f(x)的图象与轴的交点的横坐标。其次，归纳了关于判定零点的方法，一是解方程法，即方程f(x)=0有几个实数解，函数f(x)就有几个零点；二是图象法，画出函数y=f(x)的图象，图象与轴的交点个数就是函数f(x)的零点个数；三是数形结合法，即把函数等价转化为两个函数，通过判断两个函数图象交点的个数得到函数零点的个数；四是利用零点存在性定理判断

师：大家听了他的解读后，有没有不明白的，可以大胆提问！

生2：零点存在定理的具体内容？

生1：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

师：明白了吗？

生2：明白

师：还有什么疑问吗？

生2：没有了

师：我有一个疑问，请问利用零点存在定理判断出y=f(x)在区间(a,b)内有零点，能确定零点的个数吗？你能举例说明吗？

生1：不能，并在黑板上作图说明。

师：再追加一个问题，什么情况下我能确定函数零点的个数？

生：函数在(a,b)内单调，则可以确定零点个数为1个。

师：非常棒，大家掌声鼓励一下!张同学以“零点”为中心，构建一个简洁的知识网络，左边是相关的知识点；右边是常见的解题方法

二、【分享思路，共同进步】

师：课前布置的自我检测题，大家人人都是100分，我很满意；我更满意的是，从大家的答题过程中，我看到大家能从不同的角度去分析解决问题；接下来是为大家量身定制的“分享时刻”，我们逐题进行经验分享。

（先通过智慧教室的挑人功能，随机选取一名学生，说说是如何解题的；再利用抢答功能，请不同作法的同学发言）

x2－1，x≤1，（屏幕呈现）1．已知函数f (x)＝则函数f (x)的零点为(

) 1＋log2x，x>1，11A. ，0

B．－2，0

C.

D．0 22生3：通过解方程，结合分段函数的定义域，得到函数的零点

师：很好!有同学有不同的解法吗？请大家通过答题器进行抢答。

生4：通过画出函数的图象，观察得到函数的零点

师：通过函数图象观察出精确零点的值，对作图的精确度要求较高，或者需要解方程的辅助；或者需对函数的性质十分熟悉。

2（屏幕呈现）2．函数f (x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(

) x－1A．(1，2)

B．(2，3)

C．(3，4)

D．(4，5) 2生5：将函数y=f(x)的零点转化为函数y=f(x)与y=图象的交点个数，在同一直角坐标系中做出x－1两个函数图象，观察交点横坐标的取值范围

师：很好!有同学有不同的解法吗？请大家通过答题器进行抢答。

生6：由于这是一道选择题，可用特殊值检验的方法：将选项的区间端点代入，利用零点存在定理，检验函数值是否异号，若异号则在该区间有零点，否则继续检验

师：其实在检验的过程中，我们也可以结合函数的单调性，判断下一个需要验证的端点

（屏幕呈现）3.定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图像与y＝cos x的图像的交点个数(

) A.5

B．6

C.7

D．8 生7：直接在同一直角坐标系中做出两个函数图象，数出交点的个数

师：（拍照上传）很好!从生7的作图中，不难发现直接观察两个函数图象的交点个数，对作图的精确度要求较高，而画出较为精准的图象较耗时耗力，有更为简便的解法吗？请大家通过答题器进行抢答。

生8：将两个函数图象的交点个数，转化为方程sin 2x＝cos x的根的个数，通过解方程得到sin x＝0.5，或者cos x＝0，再通过图象得到两个方程的根的个数分别是4和3，共7个

师：

（屏幕呈现）4．已知函数f (x)＝3x＋x－3的零点为x1，函数g(x)＝log3x＋x－3的零点为x2，

则x1＋x2＝(

) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 生9：分别作出函数y＝3x，y＝log3x，

y＝3－x的函数图象，则y＝3x，y＝log3x与y＝3－x的交点的横坐标就分别是x1，x2，由于y＝3x，y＝log3x关于直线y=x对称，直线y＝3－x也关于直线y=x对称，从而两个交点关于直线y=x对称，从而两个交点关于两条直线的交点对称，故x1＋x2=3

师：把函数的零点转化为图象交点的横坐标，那么零点间的关系就转化为交点横坐标的关系，利用图象的对称性，得到交点的对称关系，进而得到横坐标的关系，即零点的关系

（屏幕呈现）5．已知函数f(x)满足f(x)f(x2)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围是（

）

f(x)x2．1A.0,41B.0,211C.,4311D.,

32生10：先画出函数y=f(x)在[0,1]区间上的图象，由偶函数得到[-1，0]上的图象，从而得到一个完整周期的图象，在“复制”后向右平移一个周期，得到指定区间的图象；函数y=g(x)的零点个数可以转化为y=f(x)与y=k(x+1)的交点个数，因为y=k(x+1)恒过（-1，0），从图象中观察得到有4个公共点的临界位置，进而求出实数k的取值范围

师：把函数零点的个数转化为两个图象交点的个数，利用图象观察临界状态，通过计算得到临界值

大家的分享都很棒，老师也和大家一起分享一下我挑选这几道检测题的意图，以大家认识函数零点的过程为主线，从求零点的精确值，到估计零点的范围，进而到遇到多个零点问题时，我们除了研究零点的个数外，还可以进一步深入研究多个零点间的关系；最后，我们来分享陈凌军同学的“温馨提示”

三、【变式提升，检测反馈】

研究一

零点间的关系

（屏幕呈现）已知函数f(x)log3xm的两个零点分别是x1,x2，则下列结论正确的是______ (1)(x11)(x21)0;(2)(x11)(x21)0;(3)x1x21;(4)x1x21

（学生独立思考，教师巡视，同时开放IRS，学生按任意键即表示自己已完成思考，当完成率达到90%的时候，教师开始通过挑人方式，选择学生来解答）

生11：先做出ylog3x的图象，由于函数f(x)有两个不同零点，所有其函数图象是由ylog3x向下平移m(m0)个单位得到，从图象可直接观察出一个零点比1大，一个介于0与1之间，从而可以得出结论（2）是正确的；关于（3）（4）的判断，我采用的是极限的思想，当两个零点越来越接近时，得到两个相等的零点，此时x1x21，所以我选择结论（3）

师：利用函数图象可以直观地得到两个零点与1的大小关系，但对于两者之间是否有更精确的关系，说理还不够精确到位，有哪位同学可以进行补充？

生12：将函数f(x)log3xm的零点转化为ylog3x,ym交点的横坐标，从而log3x1log3x2m，利用对数的运算性质得到x1x21

师：很好!利用转化的思想，将函数的零点转化为两个函数图象交点的横坐标，利用函数值相等得到关于对数的方程，通过对数的性质运算，得到两根间更为精准的关系。

【检测题】若函数f(x)log3x2的两个零点分别是x1,x2，则（ ）

xA.x1x21B.x1x21C.0x1x21D.以上都不对

（学生独立答题，教师巡视，所有学生答题后，教师查看作答的统计表，几乎所有的同学都选择C选项）

生13：在同一直角坐标系中，分别作出ylog3x和y()得到两个公共点，分别记为A(x1,y1)，12xB(x2,y2)，过B作x轴的平行线交ylog3x的图象于点C，则C(x3,y2)，由上一题的结论有x2x31，又0x1x3，从而0x1x21

师：很好，生13利用上一题的结论，快速得到了正确的选项；大家有其他解法吗？没有吗？

好，我们一起来比较一下两道题目的异同，第一题两个交点的纵坐标相等，而这道题中两个交点的纵坐标不相等，不妨设y1y2，则log3x1log3x2，从而有0x1x21

这两道解题方法，都是先将函数的零点转化为两个函数图象交点的横坐标，利用纵坐标的大小关系，列出方程（不等式），通过解方程（不等式）得到零点间较为精确的大小关系

研究二零点的个数问题

（屏幕呈现）设函数f(x)x1,x0，函数yf[f(x)]1的零点个数为______

log2x,x0（学生限时独立答题，教师巡视，学生用答题器中的数字表示零点的个数；教师查看作答的统计表，

规定时间内28个学生答题正确，10位学生答题错误，还有2两位学生未作答；请答对的学生上台板演）

生14：令f(x)t，求函数的零点个数，可以先求解方程f(t)1，再作出函数yf(x)的草图，其图象与y1有两个公共点，横坐标分别是0和1，即方程f(t)1的解为方程t1或t0；再作出f(x)1,f(x)0两条直线，不难发现分别有1个和2个交点，共3个交点，从而所求函数的零点个数为3个

师：说得非常好，你能总结一下这道题你用了哪些思想方法吗? 生14：数形结合（老师追问后）解方程

四、【总结归纳，分享收获】

师：以上是我们这节课的内容，通过本节课的学习，你对函数的零点有了哪些新的收获？你能否将课代表课前的总结进一步完善？

生15：在遇到复合函数零点问题的时候，可以采用换元法

师：这节课在大家已经掌握的函数零点的知识基础上，着重研究了函数零点间的关系和复合函数的零点个数问题，涉及到转化思想、数形结合思想，尤其是从数的角度用方程思想去认识函数的零点。

五、【课后作业，巩固提升】

校本练习1份

【教学反思】

这是一节高三二轮复习课，主要遵循了由浅入深、循序渐进的原则，运用了336教学模式，分三个阶段展开。第一阶段，课前教师发布学习任务单，学生进行自我知识梳理、自我检测与自我小结；第二阶段，课堂上教师组织教学活动，学生分享解题思路，畅谈解题方法，师生共同提炼数学思想方法，在此基础上变式提升，检测反馈，总结提炼，渗透解题策略与方法，使之明确化、多样化、系统化；第三阶段，课后补救，巩固提升。

本节课我最满意的环节是“分享经验，共同进步”，15位发言的学生俨然是15位教师。他们正确表述了自己的解题步骤，将自己最拿手的解题方法毫无保留地和同学们分享，给老师、同学们带来思维上的碰撞，解题上的启发。老师和学生分享选取自我检测题的意图，推荐学生通过完成自我检测题的归纳与总结。

智慧教室的使用也为本节课增色不少，通过充分利用IRS反馈系统提供的数据，精准掌握学情，调整教学策略，通过推荐、挑人、拍照上传等教学活动，更好地实现师生、生生之间互动沟通，很好的达到了教学相长，构建了科学的智慧教室。

【点评】

林宏老师以函数零点为教学的切入点，开展《微专题函数与方程问题》的教学活动。课前发布学习任务单，课堂上变式提升，检测反馈，总结提炼，使解题策略与方法明确化、系统化。同时，林老师也突出了智慧课堂教学手段的运用，师生互动融洽，科技手段运用熟练，取得了良好的教学效果。充分利用IRS反馈系统提供的数据精准掌握学情，调整教学，通过推荐、挑人、拍照上传等活动，增强了课堂上学生的参与性，更好地实现师生、生生之间互动沟通。让学习成为多维互动的过程，大大提高了教学的时效性。

执笔：陈玲