阅读与思考 集合中元素的个数优质课教案设计

第一章集合与常用逻辑用语

第一节

集

合

本节主要包括2个知识点：

突破点(一)

集合的概念与集合间的基本关系

[基本知识]

1．集合的有关概念

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

表示

关系

子集

集合间的基本关系

相等

真子集

文字语言

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

空集是任何集合的子集

空集

[基本能力]

1．判断题

(1)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.(

) (2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(

) (3)任何集合都有两个子集．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．填空题

(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

空集是任何非空集合的真子集

∅∅⊆A

B且B≠∅

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

记法

集合的概念与集合间的基本关系；集合的基本运算. 

A⊆B或B⊇A

AB或BA

解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4. 答案：1或4 (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．

解析：∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．

答案：5 (3)集合A＝{x∈N|0

解析：因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7. 答案：7 (4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________. 解析：∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2. 答案：－2

[全析考法]

集合的概念与集合间的基本关系

1.与集合概念有关问题的求解策略

(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．

(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．

(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

2．判断集合间关系的常用方法

列举法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

结构法

数轴法

[典例]

(1)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为(

) A．5 C．3 B．4 D．2 (2)(2018·兰州模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(

)

A．A＝B

C．A⊆B

B．A∩B＝∅

D．B⊆A

(3)(2018·湖南长沙一中月考)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(

) A．[2，＋∞) C．(－∞，0) B．(2，＋∞) D．(－∞，0] [解析]

(1)因为x∈A，y∈B，所以当x＝－1，y＝0,2时，z＝x＋y＝－1,1；当x＝1，y＝0,2时，z＝x＋y＝1,3，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，共3个元素，选C. (2)A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A. (3)由题意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A⊆B，则a≥2.故选A. [答案]

(1)C

(2)D

(3)A [易错提醒] (1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．

(2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．

[全练题点]

1．(2018·河北邯郸一中调研)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B＝(

) A．{0,1,2,3,4} C．{0,2,4} B．{0,1,2} D．{1,2} 解析：选A

当x＝0，y＝0,1,2时，x＋y＝0,1,2；当x＝1，y＝0,1,2时，x＋y＝1,2,3；当x＝2，y＝0,1,2时，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}．

2．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为(

) A．3 C．8 B．7 D．15 解析：选B

因为A＝{x∈N|x<2}，所以A＝{0,1}，因为B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，所以B＝{0，lg 2}．因为C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg 2}．所以集合C的真子集的个数为23－1＝7.故选B.

3．(2018·河北衡水中学调研)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是(

) A．5 C．3 B．4 D．2 解析：选B

满足条件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A⊆B的B的个数是4.故选B. 4．(2018·成都模拟)已知集合A＝{x∈N|1

) A．(8，＋∞) C．(16，＋∞) B．[8，＋∞) D．[16，＋∞) 解析：选C

法一：∵集合A＝{x∈N|14，解得k>16.故选C. 法二：取k＝16，则集合A＝{x∈N|1

解析：∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1

解得2≤m≤3. 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．

答案：(－∞，3]

突破点(二)

集合的基本运算

[基本知识]

1．集合的三种基本运算

集合的并集

符号表示

A∪B

集合的交集

A∩B

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形表示

符号语言

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

集合的补集

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. [基本能力]

1．判断题

(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(

) 11(2)若集合A＝xx>0，则∁RA＝xx≤0.(

) | | (3)设集合U＝{x|－3

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．填空题

(1)(2018·浙江模拟)已知集合P＝{x∈R|0≤x≤4}，Q＝{x∈R||x|<3}，则P∪Q＝________. 解析：由题意，得P＝[0,4]，Q＝(－3,3)，∴P∪Q＝(－3，4]．

答案：(－3,4] (2)(2018·安徽合肥模拟)已知集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩B＝________. 解析：由题意，得A＝{x|x2<4}＝(－2,2)，B＝{x|x－1≥0}＝[1，＋∞)，所以A∩B＝[1,2)．

答案：[1,2) (3)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝________. 解析：因为∁UB＝{2,5,8}，所以A∩(∁UB)＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

答案：{2,5} (4)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝________. 解析：∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．

答案：{2,6}

[全析考法]

集合的交集或并集

[例1]

(1)(2018·湖南十校联考)已知集合P＝{x|1≤2x<4}，Q＝{1,2,3}，则P∩Q＝(

) A．{1} C．{2,3} B．{1,2} D．{1,2,3} 1(2)(2018·山东菏泽模拟)设集合A＝x2

) | A．{x|1

B．{x|－1

(1)P＝{x|1≤2x<4}＝[0,2)，所以P∩Q＝{1}．故选A. (2)因为B＝{x|x2<1}＝{x|－1

(1)A

(2)B [方法技巧]

求集合交集或并集的方法步骤

[例2]

(1)(2018·山东临沂模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x则图中阴影部分表示的集合为(

) A．{x|x≥1} C．{x|0

<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，(2)(2018·湖北黄冈调研)已知函数f(x)＝为N，则M∪(∁RN)＝(

) A．{x|x>－1} C．∅

[解析]

(1)A＝{x|2x(x－2)B．{x|x≥1} D．{x|－10}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．

(2)依题意得M＝{x|－1－1}．

[答案]

(1)B

(2)A [方法技巧]

解决交、并、补混合运算的一般思路

(1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．

(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．

(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．

集合的新定义问题

[例3]

(2018·合肥模拟)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝(

) 9－，0

A.49－，0

B.49－∞，－∪[0，＋∞) C.49－∞，－∪(0，＋∞) D.49y≥－，B＝{y|y<0}，

[解析]

因为A＝y49y<－所以A－B＝{y|y≥0}，B－A＝y4，

9y≥0或y<－A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝y4. 

故选C. [答案]

C [方法技巧] 解决集合新定义问题的着手点

(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．

(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．

[全练题点]

1.[考点一](2018·长春模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝

(

) A．(－1,1) C．(－1，＋∞) B．(0,1) D．(0，＋∞) 解析：选C

∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C. 2.[考点二](2018·广州模拟)若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩∁UB＝(

) A．{x|1

由题意知，A＝{x|0

3.[考点一](2018·潍坊模拟)若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝(

) A．(2,4] C．(－∞，0)∪(0,4] B．[2,4] D．(－∞，－1)∪[0,4] 解析：选A

因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2

4.[考点三](2018·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(

) A．15 C．20 B．16 D．21 解析：选D

由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21. 5.[考点三]如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则AB为(

) A．{x|02} 解析：选D

因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D. [全国卷5年真题集中演练——明规律]

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则(

) 3A．A∩B＝x x＜2

B．A∩B＝∅

D．A∪B＝R 3C．A∪B＝x x＜2

33解析：选A

因为A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}＝x x＜2，所以A∩B＝xx＜2，A∪B＝{x|x＜2}．故选A. 2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝(

) A．{1,2,3,4} C．{2,3,4} B．{1,2,3} D．{1,3,4} 解析：选A

由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．

3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(

) A．1 C．3 B．2 D．4 解析：选B

A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B. 4．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(

) A．{1,3} C．{5,7} B．{3,5} D．{1,7} 解析：选B

因为集合A与集合B的公共元素有3,5，由题意A∩B＝{3,5}，故选B. 5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝(

) A．{－2，－1,0,1,2,3} C．{1,2,3} 解析：选D

∵x2＜9，∴－3＜x＜3，

∴B＝{x|－3＜x＜3}．

又A＝{1,2,3}，

∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D. 6．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(

) A．{4,8} C．{0,2,6,10} B．{0,2,6} D．{0,2,4,6,8,10} B．{－2，－1,0,1,2} D．{1,2} 解析：选C

∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，

∴∁AB＝{0,2,6,10}．

[课时达标检测]

[小题对点练——点点落实] 对点练(一)

集合的概念与集合间的基本关系

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(

) A．A＝B

C．AB

B．A∩B＝∅

D．BA

解析：选D

∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴BA. 2．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(

) A．2 C．4 B．3 D．5 解析：选C

A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C. 3．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(

)

解析：选B

由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N故选B. 4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

3解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3231且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，则2232m2＋m＝3，故m＝－. 23答案：－

25．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b

的取值范围是________．

解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．

答案：(－∞，－2] 对点练(二)

集合的基本运算

M，

1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(

) A．[0,1] C．[0,1) B．(0,1] D．(－∞，1] 解析：选A

M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]．

2．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝(

) A．{0} C．{0,1} B．{1} D．{0，－1} 解析：选C

因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．

3．(2018·中原名校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(

) A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞) 解析：选D

因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．

4．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝(

) A．{x|0

由log2x<1，得0

5．(2018·河北正定中学月考)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝(

) A．－5 C．－1 B．5 D．1 解析：选A

P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A. 6．(2018·唐山统一考试)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是(

)

A．{x|2

C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1} 解析：选C

由x2－5x－6<0，解得－10}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(

) A．(－4,3) C．(－3,4) B．[－3,4] D．(－∞，4] 解析：选B

集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B. 8．已知全集U＝{x∈Z|0

) A．M∩(∁UN) C．∁U(M∪N) B．∁U(M∩N) D．(∁UM)∩N

解析：选C

由已知得U＝{1,2,3,4,5,6,7}，N＝{2,6}，M∩(∁UN)＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M∩N＝{2}，∁U(M∩N)＝{1,3,4,5,6,7}，M∪N＝{2,3,5,6}，∁U(M∪N)＝{1,4,7}，(∁UM)∩N＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，选C. [大题综合练——迁移贯通] 1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

(1)因为A∩B＝[0,3]，

m－2＝0，所以所以m＝2. m＋2≥3.

(2)∁RB＝{x|xm＋2}，

因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，

即m>5或m<－3. 因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．

2．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．

(1)当m＝－1时，求A∪B；

(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；

(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2

则A∪B＝{x|－2

1－m＞2m，(2)由A⊆B知2m≤1，1－m≥3，

解得m≤－2，

即实数m的取值范围为(－∞，－2]．

(3)由A∩B＝∅，得

1①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；

311m＜，m＜，133②若2m＜1－m，即m＜时，需或

31－m≤12m≥3，11得0≤m＜或∅，即0≤m＜. 33综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．

3．(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．

(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；

(2)已知集合C＝{x|1

解：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，

∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．

∵log2x>1，即log2x>log22，

∴x>2，∴B＝{x|x>2}．

∴A∩B＝{x|2

∴∁RB＝{x|x≤2}，

∴(∁RB)∪A＝{x|x≤3}．

(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A. 当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；

当C为非空集合时，可得1