习题3.1教学目标

课题：高三数学二轮复习微考点3 函数零点知多少

龙岩一中 林文柱

时间：2018年4月13日（星期五上午第4节） 班级：高三（16）班

【学习目标】

1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根、图像交点的关系.（体现数学抽象素养水平一）

2.掌握函数零点的判断方法并会求解零点及相关代数式的定量问题. (提升数学运算素养水平二）

3.会求函数零点并用零点的几何意义解决与方程或不等式定性问题.（考查逻辑推理素养水平三）

【知识回顾】

1.函数的零点及函数的零点与方程的根的关系：对于函数f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的_____,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的_______. 2.零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_____________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根. 【易错提醒】

1.忽略概念致误:函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.不能准确应用零点存在性定理致误:函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点,但存在零点时不一定满足该条件.即函数y=f(x)在(a,b)内存在零点,不一定有f(a)f(b)<0. 3.作图象不准确致误.在用数形结合法求解函数零点、方程解的问题时,相应函数的图象一定要作得准确,才能正确利用数形结合得解. 【命题解读】

主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围,以及应用零点求参数的值(或范围),常用高次函数、分式、指数式、对数式、三角式结构为载体,以选择题、填空题为主;有时与导函数结合在解答题中出现. 【热点考向】

命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况

x【典例1】(2017·安庆二模)已知实数a>1,0

(

) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

3【典例2】( 2017·大连一模)设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=|cosx|-f(x)在区间[A.3 B.4 13,]上零点的个数为

(

) 22C.5 D.6

【提升1】(2017·烟台二模)已知[x]表示不超过x的最大整数,当x∈R时,称y=[x]为取整函数,例如2[1.6]=1,[-3.3]=-4,若f(x)=[x],g(x)的图象关于y轴对称,且当x≤0时,g(x)=-x-2x,则方程f(f(x))=g(x)解的个数为

(

) A.1 B.2 C.3 D.4

命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况，求参数的值或取值范围

2x-1-x+1【典例3】(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x-2x+a(e+e)有唯一零点,则a=(

) A．

【典例4】(2017·山东高考)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是

(

) 211

B．

23C．1

2D．1

A.(0,1]∪[23,+∞) C.(0, 2]∪[23,+∞)

B.(0,1]∪[3,+∞) D.(0, 2]∪[3,+∞) 2【提升2】已知函数f(x)2x3x1，函数g(x)f(sinx)sinxa在[0,2)内有2个零点，则实数a的取值范围是__________________

1

命题角度三 已知函数零点的个数或存在情况，求零点的代数式的值或取值范围

(0x3)|log3x|【典例5】(2017·中山模拟)已知函数f(x)1210，若方程f(x)=m(m∈R)有四个xx8(x3)33不同的实根x1,x2,x3,x4,且满足x1x2x3x4，则x1x2x3x4的值是________________

(0x3)|log3x|【变式1】已知函数f(x)1210，若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实根x1,x2,

xx8(x3)33x3,x4,且满足x1x2x3x4，则x1x2x34x4的取值范围是________________

(0x3)|log3x|【变式2】（学生自编）已知函数f(x)1210，若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的xx8(x3)33实根x1,x2,x3,x4,且满足x1x2x3x4，则

【当堂练习】

31.(2016·武汉一模)函数f(x)=lnx+x-9的零点所在的区间为

(

) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) log(x1)122.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,

f(x)1|x3|F(x)=f(x)-a(0

(

) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (0x1)

，则关于x的函数(x1)(xm)|x|3.(2016·山东高考)已知函数f(x)2其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方x2mx4m(xm)程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________. log(x1)124.(2016·合肥二模)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)1|x3|的函数F(x)=f(x)-a(0

则x3x2的取值范围是________________

x1x4【规律方法】

1.判断函数零点个数的方法

(1)直接求零点:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)利用零点存在性定理:利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题. 2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.

2

【考点拓展】

sin(x)1(x0)1.(2016·亳州二模)已知函数f(x)

，(a>0,且a≠1)的图象上关于y轴对称的点2loga(x)(x0)至少有5对,则实数a的取值范围为

(

) A．(0,

5577) B．(,1) C．(,1) D．(0,)

55771x1312xaxbxc的极大值点、832极小值点分别为x1,x2，其中x1x2,a,b,cR. 则有（

）

A．ba

B．ba

C．ba

D．ba

2.

已知方程|log2(x1)|()0的两个根为x1,x2，且函数f(x)

xx3.(2016·江苏高考)已知函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=1. 2①求方程f(x)=2的根; ②若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值. (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.

x24．[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝(x－2)e＋a(x－1)有两个零点．

(1)求a的取值范围； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

2xx5．[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ae＋(a－2)e－x. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

【课后训练】

13(0x1)1.已知在区间(0,2]上的函数f(x)x且g(x)=f(x)-mx在区间(0,2]内有且仅有两个2x11(1x2)不同的零点,则实数m的取值范围是

(

) 91111,2](0,]

B．(,2](0,]

424292112

C．(,2](0,]

D．(,2](0,]

4343A．(2.(2017·泉州二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:①对任意x,都有f(x+3)=f(x)成立;②当x∈[0,3331]时f(x)|2x|，则f(x) 在区间[-4,4]上根的个数是

(

) 222|x|A.4 B.5 2C.6 D.7 3=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是

(

) 2e2e2e2e2)

B．(0,]

C．(0,)

D．(0,]

A．(0,2233x2(4a3)x3a(x0)4.(2016·天津)已知函数f(x) (a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x(x0)loga(x1)1x的方程|f(x)|=2-

恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是________. 33.(新题预测)已知方程ln|x|-ax+

3

【教学反思】

1.函数零点是高考中经常考查的考点，本教学设计是从题型分布、命题角度、考点拓展等三方面来把控课堂教学，做到点面结合。分二课时完成，这节课是第一课时，时间分配比较紧，主要从“复习—讲评—实测—评价”四个方面达成目标。

2.充分结合近几年的高考试题要求进行热点追踪，从三个角度精选高考真题或各省模拟试题进行剖析，在事先要求同学们完成的基础上由同学来讲解，并提出多种解法，目的是让所有的同学都来参与，但基于时间关系，提问与讲解语速比较快。同学上讲台板演的效果没有最大的发挥。

3.由于试题的变式与提升要求比较高，在讲解这类试题时，部分同学的接受还有些模糊，这必须要求同学们课后通过强化训练中寻找解题的规律和方法。同时，在课后的练兵中加以指导。并力求资优生在准确率保证的前提下，提高解题速度。

【教师点评】本节课自始至终都运用了数学核心素养的考查要求进行教学，为体现三个方面的数学素养，采用了不同的命题角度进行三个层次的剖析，选题经典，主要是以高考真题和各省模拟试题为主，边讲边提问学生，师生互动效果好，学生完成的练习正确率也较高。有自己编拟的试题，也有由学生来编题的环节，使课堂气氛变得非常融洽，考点的讲解有深有浅，并循序渐进地推向课堂高潮。

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