复习参考题PPT及专用教学设计内容

方程的根与函数的零点

保山市第八中学

于波

函数与方程是一种重要的数学思想，也是高考重点考查内容之一．在学生已掌握二次函数的性质、函数零点存在性定理及导函数等知识的前提下，如何通过第一轮的复习使学生进一步强化对函数与方程相互转化的认识与理解，进而运用已有知识解决函数的零点、方程的根及相关参数讨论的问题，是第一轮复习阶段高中教师面临的关键问题．

一．考情分析

高考试题

2018课标全国卷Ⅲ，15，5分

2017课标全国卷Ⅲ，11，5分

核心考点

函数与方程

考查内容

求三角函数在指定区间零点个数

已知零点个数求参数

核心素养

数学运算

难度系数

中

函数与方程

数学运算

中

2016课标全国卷函数零点、导数应函数零点求参数，数学运算

Ⅰ

，21，12分

用、证明不等式

证明不等式

难

近三年的全国卷中，基本都涉及函数的零点问题，内容包括零点的存在性、零点个数、零点区间等，题型为选择题、填空题和解答题，难度中等或较难。高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一个是找函数零点个数；另一个是判断零点的范围．另外应该特别注意运用导数来研究函数零点的问题.

二. 基础回顾

1．函数的零点

（1）定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

（2）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. （3）二分法：如果函数

y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲线，且

f(m)·f(n)<0，通过不断地把函数

y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 1

（4）函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

（5）函数

的零点个数⇔方程

的实数根个数⇔函数

的图像与函数

的图像的交点个数.

2．二次函数

的图象与零点的关系

二次函数

的图象

与x轴的交点

方程f(x)=0的根

函数y=f(x)的零点

3．二次函数零点的分布问题

二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布，一般为下面两个方面的问题：

(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．

由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：

设二次函数

对应的方程的根为

、

.

一个区间只有一个根

根的分布

(m＜n＜p) x1＜m＜x2

图象

满足条件

(x1,0)，(x2,0)

,

(x1,0)

无交点

无实根

无零点

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0 f(m)＜0 2

m＜x1＜n＜x2＜p

fm＞0，fn＜0，fp＞0Δ＞0，

m＜x1＜x2＜n 一个区间有两个根

m＜－2ba＜n，fm＞0，fn＞0Δ＞0，b－2a＞m，fm＞0

m＜x1＜x2

f(m)·f(n)＜0或Δ＝0b且－2a∈(m，n)或

或

在(m，n)内有且只有一个根

或

三.考点分析

考点一

判断函数零点所在区间

高考中对函数零点所在的区间的考查主要以选择题、填空题形式出现，体现了基本概念的灵活运用，难度不大.

1.已知函数

的零点为x0，则x0所在的区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 解析：∵

在(0，＋∞)上是增函数，

11又f(1)＝ln 1－2＝ln 1－2＜0，

－10f(2)＝ln 2－2＜0，

3

11f(3)＝ln 3－2＞0，

∴x0∈(2,3)，故选C．

2. 设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右：

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．

kk＋1(k∈Z)

3.(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在，22内，那么k＝________.

解：法一：（利用函数单调性）函数

与

为增函数

55∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f2＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在52，3内，则整数k＝5. 15法二：∵f′(x)＝x＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f2＝ln 552，3内，则整数k＝5. －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在2方法提炼

1.判断函数零点所在区间的方法

（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断. （2）利用零点存在性定理进行判断. （3）数形结合画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断. 2.判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值. 4

(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断. (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 考点二 函数零点个数的判断

高考中对函数零点个数的考查主要以选择题和填空题形式出现，体现了数形结合思想的运用，难度不大.

1.

求函数

的零点个数．

解析：

方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，

f(2)＝4＋lg 3－2>0，

∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，

又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，

故f(x)有且只有一个零点．

方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)

＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，

即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

2.方程|x2－2x|=a2+1 （a∈R+）的解的个数是______________。

解析：根据a为正数，得到a2+1＞1，然后作出y=|x2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a2+1的图象与y=|x2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。

∵a∈R

∴a2+1＞1。而y=|x2－2x|的图象如图，

∴y=|x2－2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点。

∴方程有两解。

5

+

答案：2个

点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。

3.

(2018课标Ⅲ,15,5分)函数

在 ， 的零点个数为

.

解析

本题考查函数与方程.

法一：令f(x)=0,得

=0,解得

 (k∈Z).当k=0时,

 ;当k=1时,;当k=2时,

,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.

法二：画出函数

在 ， 的图像，函数图像与x的交点个数即零点个数.

2ln x－x＋2x，x＞0，4.(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝的零点个数是________.

4x＋1，x≤0

解：当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，

由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；

1当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－4，

综上，f(x)有3个零点．

5.(2018·河南四月质检)已知函数

，则方程

5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上的根的个数为(

) 6

A．3

B．4

C．5

D．6 1[解析]

因为5[x－f(x)]＝1，故f(x)＝x－5；在同一直角坐标系中分别作出函数y1＝f(x)，y＝x－5，的图象如图所示，观察可知，两个函数的图象在[－2,2]上有6个交点，故方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上有6个根．选D.

方法提炼

1.直接求零点：令

，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. 2.零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 ， 上是连续不断的曲线，且

，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点. 3.利用函数图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

考点三

由函数零点求参数的取值范围（或值）

常规思路：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．

1.(2018课标全国Ⅰ理,9,5分)已知函数

，

若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 (

)

A.[-1,0)

B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)

D.[1,+∞)

答案 C

本题主要考查函数的零点及函数的图象.

g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数

与h(x)=-x-a的图象存在2个

交点,如图,

当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x) 与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1, 即a≥-1.故选C. 2. (2017课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数

有唯一零点,则a= (

) 7

A.

B. 

C.

D.1

答案

C

由函数f(x)有零点得

有解, 即

有解,

令t=x-1,则上式可化为

令h(t)=

,易得h(t)为偶函数,

又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以

a=

,即

.

,故选C.

x|2－1|，x＜2，3.已知函数f(x)＝3，x≥2，x－1

若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(

) A.(1,3)

B.(0,3)

C.(0,2)

D.(0,1)

解析：画出函数

f(x)的图象如图

D16，观察图象可知，若方程

f(x)－a＝0 有三个不同的实数根，则函数

y＝f(x)的图象与直线

y＝a 有

3 个不同的交点，此时需满足

0＜a＜1.故选

D.

答案：D

4.若函数

有两个极值点，则实数的取值范围是( ) A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

有两个正根，即

有两个正根，令

，

，当

时，

，故

在

上单调递增，在

上8

单调递减，

，当

时，

，所以

故选：A．

方法提炼

1.函数零点的应用主要表现在利用零点求参数取值范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图像的关系求解，这样会使得问题变得直观，简单这也体现了数形结合思想的应用. 2.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

已知函数零点的个数求参数范围的方法

一般步骤：

9

考点四 求函数的零点之和的问题

1. (2017·天津模拟)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0的函数F(x)=f(x)-a(0

) (A)

(B)

(C)

(D)

析:因为当x≥0log1(x1),x[0,1),时,f(x)=

21|x3|,x[1,);log1(x1),x[0,1),时,f(x)=21|x3|,x[1,);则关于x

即x∈[0,1)时,f(x)=log1(x+1)∈(-1,0]; 2x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];

x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,1);

画出x≥0时f(x)的图象, 再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示; 则直线y=a与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根, 最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6, 因为x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),所以

,又f(-x)=-f(x),

所以

,

所以中间的一个根满足

,即

,解得

,所以所有根的和为

.故选A. 方法提炼

求函数的零点(方程的根)之和问题,关键是作出其图象,利用对称性求和.

考点五 利用导数研究函数的零点与方程的根的问题

1.画出下列函数的图像

（1）

（2）

10

(3)

（4）

要点归纳：利用函数的单调性和极值画图，要特别注意函数值的分布（符号）情况。

ex,x0x2.

已知函数f(x)

若关于x的方程

1,x0x[f(x)]3a[f(x)]2af(x)10有5个相异的实根，则实数a的取值范围是（

）

1111,2e1)

C..(0,e1)

D..(e1,)

eee解析：设

，原方程可化为

(A..(0,2e1)

B..e

则

或

令

，

，

为方程的两根，则

，

,

由题意知

,解得

3.（2018全国Ⅱ卷理21．（12分））

x2已知函数fxeax．

（1）若a1，证明：当x0时，fx1；

（2）若fx在0,只有一个零点，求a．

11

2x【解析】（1）当a1时，f(x)1等价于x1e10，

2x2xx设函数gxx1e1，则g'xx2x1ex1e，

2当x1时，g'x0，所以gx在0,单调递减，

而g00，故当x0时，gx0，即fx1．

2x（2）设函数hx1axe，fx在0,只有一个零点当且仅当hx在0,只有一个零点．

当a0时，hx0，hx没有零点；

x当a0时，hxaxx2e．

当x0,2时，h'x0；当x2,时，h'x0．

hx在0,2单调递减，在2,单调递增．

故h214ahx在0,的最小值．

2是ee2①若h20，即a，hx在0,没有零点；

4e2②若h20，即a，hx在0,只有一个零点；

4e2h20③若，即a，由于h01，所以hx在0,2有一个零点，

416a316a316a31x2h4a11110．

x0244a1由（）知，当时，ex，所以2aea2ae故hx在2,4a有一个零点，因此hx在0,有两个零点．

e2综上，fx在0,只有一个零点时，a．

44.已知函数fxex，

gxlnx2. （1）若直线ykxb是曲线yfx与曲线ygx的公切线，求k,b；

（2）设hxgxfxaa2，若hx有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）{kek1（2）a1.

或{

；b0b112

试题解析：对函数yex求导，得y/ex，对函数ylnx2求导，得y/1。

x设直线ykxb与yex切于点Px1,ex1，与ylnx2切于Qx2,lnx22.

则在点P处的切线方程为：

yex1ex1xx1，即yex1x1x1ex1. 在点Q处的切线方程为：

ylnx2211xx2，即yxlnx21. x2x2这两条直线为同一条直线，所以有{ex11x211lnx21

1x1ex由（1）有x1lnx2，代入（2）中，有

21x11x20，则xx211或x21. ke

, b0当x11时，切线方程为yex，所以{13

当x21时，切线方程为yx1，所以{k1b1

.

（2）hxlnxexaa。求导：

h/x1xae,x0，

x显然h/x在0,上为减函数，存在一个x0，使得h/x00，

且x0,x0时，

h/x0，

xx0,时，

h/x0，

所以x0为hx的极大值点。

由题意，则要求hx00. 由h/x001ex0a，有lnx0x0a，所以alnx0x0，

x01x0. x0故hx02lnx0令x2lnx1x，且10。

x/x21210，

x在0,上为增函数，又10，

xx要求hx00，则要求x01，又yxlnx在0,上为增函数，

所以由x01，得alnx0x01。

综上，

a1

方法提炼

利用导数确定函数零点或方程根个数的方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

四.2019年考向分析

新修订的高中数学课程方案、课程标准更关注学生能力与素养的培养，新高考改14

革，将增强试题的灵活性与开放性，降低了题海战术、机械刷题的收益，更注重数学思维与创新意识的考查，更关注数学六大核心素养的达成，这对高考一轮复习提出更高要求. 数学《课标》明确指出：“现实世界有许多现象和问题隐含着一定的数学规律，需要人们能从数学的角度去发现、去探索、去寻求解决的策略，这是数学应用意识和创新意识的重要体现，也是能否将所学知识和方法运用于实际的关键. 1.（2018浙江22．（本题满分15分））已知函数f(x)=x−lnx．

（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

22.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),4)a=1是方程x-cosx+|a|=0有唯一根的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数f(x)=lnx-x|x-e|的零点的个数是 (

)

A.0

B.1

C.2

D.3

(一）近三年的课标卷试题——重点研究，找趋势 （二）近两年各地方卷试题——综合研究，找特征 （三）归类相同考点的试题——纵向研究，找变化 （四）新课改实验区的试题——集中研究，找新意

各老师，创新教学方式、更新教育理念、推进课程改革，全面提升教育教学质量是新时期对教师提出的要求.探“源”觅“流”，面对难题回归简单知识，面对新题还原思维本源，探索高考命题意图、追踪思想方法本质、揭示高考命题设计路径.让我们共同努力，争取在2019年高考中取得好成绩.谢谢！ 2018年10月

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