小结教学设计(教案)

函数值域的求法（1）

在函数的三要素中，值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

函数值域常见的求解思路：

⑴

化归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵

反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶

可以从方程的角度理解函数的值域，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷

可以用函数的单调性求值域。

常用方法有：

1、直接法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1、求函数y的值域. 解：∵x00 显然函数的值域是：,00,

小结：直接法需要对常见的基本初等函数的定义、图象、性质等非常熟悉，达到牢记于心，信手拈来。

常见的基本初等函数的值域：

1x1x1ykxbk0的值域为R；

4acb24acb2,2yaxbxc, a0值域为，a0值域为,4a

4a23ykk0的值域为,00,

x.

4yaxa0且a1的值域为0，5ylogaxa0且a1的值域为R. 2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2、求函数yx22x5,x1,2的值域. 解：将函数配方得：yx124 ∵x1,2

由二次函数的性质可知：

当x1时，ymin4，当x1时，ymax8故函数的值域是：[4，8] 3、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例3、求函数ycosx的值域. sinx3解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，

可化为：y21sinx3y,即sinxxR,sinx1,1

即13yy123yy12

1,解得22y44

22故函数的值域为，

-44x21例4、求函数y2的值域.

x1解：原函数化为yx2yx21，则y1x21y，

易知y10则有x21y0，解得1y1

y1故函数的值域为1,1

10x10x例5、求函数yx的值域.

1010x10x10xy12x10解：由yx

可得

xy11010102x0,y10.解得y1,或y1.

y1-11，.

即函数值域为-，小结：这种有界性法实际上带有反解的意味，即用含y的式子去表示与x有关的三角函数、完全平方、绝对值、指数形式等，根据这些形式自身的限制，建立y的不等式（组），从而解出值域。

4、函数单调性法

单调性是函数的重要性质，绝大部分函数值域问题都会或多或少于单调性有联系。若能迅速发现连续函数单调，则可根据定义域直接计算最值，从而确定值域。

例6、求函数yx1x1的值域.

解：原函数可化为y2x1x1

令y1x1,y2x1，显然y1,y2在1，上为无上界的增函数

所以y1y2在1,上也为无上界的增函数,可得y1y22,

再结合反比例函数的单调性可得函数值域为0,2例7、求函数y2x2x的值域.



解：由2x0，可知函数的定义域为,2，

显然函数y2x2x在,2上为无下界的增函数，

由单调性可得函数值域为,4. 1求函数y2x例8、22x3的值域.2求函数ylog3x22x3的值域.

解：1易知定义域为R，且x22x3x1244，

由指数函数y2x单调递增可得函数值域为0,4. 2由-x22x30得3x1，则x22x3x1240,4

由对数函数ylog3x单调递增可得函数值域为,log34. 小结：例8实际上是复合函数的值域问题，可化归成基本初等函数类型，利用单调性求值域。

5、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，从而使非标准问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。它可以化高（低）次为低（高）次、化分式为整式、化无理式为有理式、化三角形式为代数形式等。

换元的方法有代数换元、三角换元等。

例9、求函数y2x4x2的值域.

解：令tx2,则有t0且xt22, 有y2t224t2t1222,即y2,,

故函数的值域为2,.

例10、求函数yx4x2的值域.

解：由4x20,可得-2x2,故可设x2cos,0,

则y2cos44cos22cos2sin22sin

425,,sin,1,

44442y2,22,即函数的值域为-2,22.

例11、求函数ysinx1cosx1,x0,的值域.

解：函数可化为ysinxcosxsinxcosx1

t21

令tsinxcosx2sinx1,2,则sinxcosx42

t1

t21有yt1222当t1时,ymin0;当t2时,ymax23

23

故函数的值域为0，,22小结：（1）形如yaxbcxdac0，可令tcxd. （2）形如含有a2x2的结构的函数，可令tacos,0,

xcoxs,sinxcoxs的结构的函数，可令（3）形如同时含有sint21tsinxcosx，则sinxcosx. 26、

数形结合法

函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然。

例12、求函数ysinx的值域.

2cosx解：由ysinxsinx0，可看作点P2,0与点cosx,sinx2cosxcosx2所在直线的斜率，注意到cosx,sinx是单位圆上的点，如图可知KPAyKPB，而KPA33故函数的值域为-，

3333,KPB

33

例13、求函数yx26x13x24x5的值域.

解：函数可化为yx32022x22012,可看作动点Px,0到两定点A3,2,B2,1距离之和。

由图可知当P为线段AB与X轴交点时yminAB43,

所以函数的值域为43,.

