阅读与思考 集合中元素的个数全国优秀课堂实录

“邂逅无限”

1. 教学实录

1.1认知冲突，激发兴趣

问题1：若集合

则这两个集合A与B的元素个数那个多？

生1：

，所以

中的元素个数当然多于

中的元素个数。

师：“部分小于整体”这是人人熟知的“常识”，而且，它还是欧几里德《几何原本》的第八条公理，成为中小学数学的理论基础之一.真的是这样吗？

人教A版必修1教科书第14页有这样一段话：有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合，如

我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少.你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？

教师提示：对于“多少”的比较，除了通常的“数个数”的方法外，我们还有另外一种“一一对应”方法.例如，我们想知道一个班级里男生多还是女生多，除了分别数人数外，还可以让每个男同学邀请一位女同学一起跳舞.如果最后找不到舞伴的人都是男生，那么就是男生比女生多；反之就是女生比男生多.那些在一起配对跳舞的男女同学，在数学中就称为在男生集合与女生集合之间建立了一个“一一对应”关系.

生2:我知道刚才这个问题的答案了

，因为从集合A到集合B可以建立一个一一对应：

2

所以

和 两个集合的元素一样多

师：这位同学回答的非常正确.我们定义：若集合A，B间能建立一一对应，则称A与B是对等的，通俗地称为集合A，B 的元素一样多，简称A，B一样大。

设计意图：通过问题1让学生体会，无限大的性质与他们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样.

问题2：如图（1）长度为1cm的线段与长度为2cm的线段那条线段上的点多？

一部分学生认为

2 cm 线段上的点的个数多，并且是

2 倍关系，因为

2 cm

线段的长是

1 cm 线段长的

2 倍．但也有一部分学生会认为答案是一样多，

因为都有无限个，无限就是一样的。

生3：根据上面的比较大小的思想，我认为一样多，但理由不是有些同学的

“所有无限个都一样多”.因为我构造了一个线段AB上点到与线段CD上点的一

个一一对应如图（2）. 师：非常好，这就说明长度为1cm的线段与长度为2cm的线段上的点一样多.但是因为点是没有长度的，所以，线段虽然是由点组成，但是它的长度却不能用组成它的点来衡量! 意大利数学家和物理学家伽利略、德国数学家高斯以及法国数学家柯西也都曾研究过类似问题，但最后都由于感到不可理喻而放弃了. 问题

：能求出

值吗？

生4：

或

1（其他同学都表示赞同）.

师：有没有可能等于？（学生目瞪口呆）.

图

1 图

2

生5：上两式相加再除以2就得到

了.（其他学生给以热烈的掌声）

师：那上式到底等于多少？能求和吗？（学生在下面窃窃私语）

生6：按照这样我想应该不能求和. 师：是的，这个式子是不能求值的.等我们学习了数列就会明白，这是一个发散数列，不收敛，故不能求和. 德国著名数学家希尔伯特曾说：“无穷大！任何一个其它问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其它观点都不曾如此有效的激励人类的智力；然而没有任何概念比无穷大更需要清……”. 设计意图：以上问题是高中第一章集合内容的拓展，通过问题让学生感悟到有限与无限是有质的区别，

在数学中部分可以等于整体，这在日常的生

活中是不可思议的，与原来的认知冲突，从而激发学生好奇性.，进一步激发学生学习的积极性

1.2

文化渗透，加深理解

师：由于有限与无限的这种本质上的差异，许多在有限集中做不到的事，在无限集中却可以令人惊讶地做到.对此，十九世纪末的伟大数学家希尔伯特用一个名叫

“希尔伯特旅馆”的故事做了精彩说明. 我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满.这时来了一位新客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了.”现在再设想另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了.这时也有一位新客，想订个房间.“不成问题！”旅馆主人说.接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去.这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间.我们再设想一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人.这时又来了无穷多位要求订房间的客人.“好的，先生们，请等一会儿.”旅馆主人说.于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去.现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！

希尔伯特先生用生动的故事向我们展示了无限的一些性质。

设计意图：除直观上解释无限的性质外，还渗透数学史数学文化。

1.3 大胆猜测，合理论证

师：整数集Z与自然数集N元素一样多吗？

生7：（学生讨论了一会）一样多，我可以定义一个从Z到N的一一对应：

师：实际上可以证明有理数集与自然数集元素也一样多（这里没有证明）. 生：（惊讶）！

师：所以说在无限的世界与我们所熟悉的有限大不一样。如图也可说明半圆上

的点和一条直线上的点也是一样多的。实际上我们甚至可以证明直线上的点和平面上的点也一样多。

问题4：是不是所有的无限集大小都相等呢？比如：实数集与自然数集的元素是否一样多？

生8：一样多，因为无限应该和无限一样多。

师：如果真是这样，倒显得无穷王国太冷清了些.好在，事实并非如此.1873 年12 月7 日康托尔证明了：(0,1)上的点与自然数集不能一一对应. 康托尔给出两种证明，他在第二种证明中使用了极其有名的对角线证法.这一证法并不复杂，让我们来领略一下吧. 证明：用反证法：假定可以把(0,1) 里面的实数全部列出来，排成一个序列

现在将每个这样的实数写成十进小数形式

只需证还能找到一个元素b

，但

不在

，

，

，

中

构造一个数b

使它的第n位数

则b一定与上面序列中的任一数都不相同，因为至少它们第n位数字不同.这意味着，当假设两者之间能一一对应，我们找到这一对应遗漏了某个实数没有配上，所以假设错误. 设计意图：让学生再一次体会无限的大不一样. 1.4

牛刀小试，豁然开朗

问题5：公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面100米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，

但决不可能追上它.你能帮芝诺解决这个问题吗？

芝诺认为：阿基里斯首先必须到达乌龟的起点（如图）.当阿基里斯追到

1000米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了。乌龟制造出无穷个

起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多少，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

生9：好有道理呀！（学生大笑）不过我认为距离100+10+1+0.1+0.01…之和不是无穷，应该不会超过某个数. 师：很好，芝诺错就错在他不会求极限，他认为无穷正数之和总为无穷.比如：比较0.

与1的大小。

生：（异口同声）当然是1大。

师：0.

.（由于是高一学生，还没有学等比数列求和，故不采用等比数列求和）

师：其实中国古代也有类似的悖论：《庄子·天下篇》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 设计意图：HPM视角下激发学生对数学逻辑的兴趣. 1.5变式拓展，游刃有余

问题6：当

时，

能否超过 ？ ？

亿？

生：我计算到

都没有超过2，我猜想应该不能超过5.我可以证明它不超过2.

师：很厉害，从猜想到证明、从特殊到一般，我们为他鼓掌.那么第二个问题呢？

问题7：当

时，

能否超 ？ ？

亿？

生10：因为

，所以能超过2.不过后面越加越少，可能会超过10，1000但绝对不能超过1亿（其他同学表示认可）. 师：其实这个和是可以达到任何你想要的数. 由

,以代替

就有

。

设计意图：通过这种相似问题，但结果又大相径庭，从而引起学生

的认知冲突，从而激发学生对数学的探究欲望.同时让学生明白数学中直觉不一定可靠，有时需要严密论证. 师：（下课铃声响起）李白的名句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”就是无限的最好写照（在学生的掌声中结束本课）。

2.几点思考

“兴趣”是最好的老师，如果丧失了对于学习数学的信心和兴趣，那么对于学生的发展是有诸多的不利。通过本课例让学生知道，了解，明白，其实数学并没有那么高不可攀，数学也会有和生活紧密相连的时候，数学也与我们鲜活的生命息息相关。德国数学家克莱因有句名言：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”数学真有他说的有如此威力吗？通过

“邂逅无限”学生依稀找到了答案. 同时笔者认为，无论课程如何改革，学习方式如何变革，都不能偏离数学教育的本质，即通过数学教学活动，对学生思维的广度、深度和创造性方面进行综合培养。本课例将数学知识与方法融入到通俗流行的课程资源中，以学生兴趣为本展开课程设计，以探究的方式组织呈现教材，让学生在课程学习中自发的探索，自由的思考。学会使用数学语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。培养学生的思维特别是逻辑

思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”、创造性思考。教会学生如何从实际生活抽象出数学原型，建立数学模型。