探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系ppt课件配套教案内容

互为反函数的的个函数图象之间的关系

一. 教学目标

1. 运用几何画板画互为反函数的图像，研究互为反函数的有关性质．

2. 理解并掌握互为反函数的函数图像间的关系定理，深化对互为反函数本质的认识，提高解函数综合问题的能力．

3.提高学生的形象思维与抽象思维相结合的逻辑思维能力，培养学生数形结合的数学思想和转化的数学思想．

二.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系和数形结合的数学思想

三,教学难点：互为反函数的函数图象间的关系

四. 教学方法：启发式教学方法

五.教学手段：多媒体课件

六.教学过程

1.复习引入:我们先来看两个函数:指数函数y2x与对数函数ylog2x.我们知道对数来源于指数,即指数与对数两者之间可以进行相互转换. 指数函数y2x,若将之转化为用y来表示x即: xlog2y,将其中y作为自变量, x作为R中与之对应的唯一的值,我们就可以把函数叫做指数xlog2y(y(0,))叫做指数函数y2x的反函数,习惯上我们把函数xlog2y(y(0,))记作ylog2x(x(0,)),即底数同为2的指数函数与对数函数互为反函数. 根据指数与对数的性质,我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数,即指数函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)互为反函数. 通常我们将原函数记作yf(x),反函数记作yf1(x). 因为原函数与反函数本质是将x与y互换,所以我们就可以得到:原函数的定义域就是它的反函数的值域,原函数的值域就是它的反函数的定义域. 现在请你应用所学的数学知识,通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数之间的关系,让我们亲自来发现其中的奥秘吧!

问题1:在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y2x及其反函数ylog2x的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？

问题2：取y2x图象上的几个点，如1P1(1,),P2(0,1),P3(1,2)。P1,P2,P3关于直线yx的对称点2的坐标是什么？它们在ylog2x的图象上吗？为什么？

问题3：如果点P0(x0,y0)在函数y2x的图象上，那么P0(x0,y0)关于直线yx的对称点在函数ylog2x的图象上吗？为什么？

问题4：由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5：上述结论对于指数函数yax(a0,a1)及其反函数ylogax(a0,a1)也成立吗？为什么？

通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数yf(x)图象上的点关于yx的对称点一定是在yf1(x)的图象上，并且函数yf(x)图象与反函数yf1(x)的图象关于yx对称。

下面我们通过几何画板软件对以上问题结论进行研究

问题1 课件制作过程：

（1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签A，并用【文本】工具把标签改为O．

（2）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，编辑函数f（x）＝2x，单击【OK】后画出函数f（x）＝2x的图象．同法编辑函数lnxlnx，画出g（x）=的图象（即g(x)log2x）．选中所有函数图象，单击【Display】ln2ln2（显示）菜单、单击【Line Width】（线型）中的【Thick】（粗线），把上述图象都设置成粗

线．

（3）选中函数f（x）＝2x的图象，单击【Display】菜单【Color】（颜色），把该图象的颜色设置成红色．同样把函数g(x)log2x的图象设置成蓝色．

（4）单击【Graph】菜单的【Plot Points】（绘制点），绘制点（1，1）．选中该点与原点单击【Construct】（构造）菜单中的【Line】（直线），把这点与原点用直线连结起来，并把直线设置成粗线．

（5）用【文本】工具编辑文本f（x）=2x，g(x)log2x，y＝x（图1）．

课件使用说明：让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．

问题2 课件制作过程：

（1）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项），弹出“Document Options”对话框．把页面1的名称改为“看图象”．单击【Add Page】（增加页）选项卡，单击【Duplicate】（复制页面）、【看图象】，将这页面的名称改为“对称点”．

（2）单击【Graph】菜单中的【Plot Points】（绘制点），如图2所示，弹出“Plot Points”对话框，绘制固定点P1（－1，0.5），P2（0，1），P3（1，2）.

图1

图2 （3）双击直线y＝x，将直线y＝x标记镜面，同时选中P1，P2，P3，单击【Transform】（变换）菜单的【Reflect】（反射），屏幕上出现它们的对称点P1，P2，P3．

（4）同时选中P1，P2，P3，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点P1，P2，P3的坐标；同时选中P1，P2，P3单击【Measure】菜单的【Coordinates】，

屏幕上出现P1，P2，P3的坐标．

课件使用说明：

先让学生观察点P1，P2，P3是否落在函数ylog2x的图象上；再利用测量出来的点的坐标验证点P1，P2，P3均落在函数ylog2x的图象上．

问题3 课件制作过程：

（1）选中函数f（x）＝2x的图象，单击【Construct】（构造）菜单的【Point On Function Plot】（对象上的点），用文本工具给点标签为P0，再用【选择】工具选中点P0，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点P0的坐标．

（2）同上作法画出点P0关于直线y＝x的对称点P0，并度量出它的坐标．

（3）单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）

中的【Animation】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），选择文本工具将按钮名称【Animation Point】改为【运动点P0】，如（图3）所示．

图3 课件使用说明：

1．单击按钮，则点P0与P0/同时在各自的曲线上运动或停止．学生可以清楚得看到P0始终落在函数ylog2x的图象上．

2．可以先将函数ylog2x的图象隐藏，将P0点设置追踪点（单击【Display】菜单中的【Trace】（追踪点）．当点P0/随点P0的运动而运动时会留下痕迹；再显示ylog2x的图象，发现点P0/的痕迹与ylog2x的图象重合．

3．或同时选中P0与P0，单击【Construct】（构造）菜单中的【Locus】（轨迹），立刻得到点P0的轨迹与ylog2x的图象重合．

问题4 由上述探究过程都可以得到以下结论：函数y2x及其反函数ylog2x的图象关于直线y＝x对称．

（问题2、3、4详见页面2——“对称点”）

问题5（页面3——“a变化”）

课件制作过程：

（1）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，单击【Add Page】（增加页），单击【Blank Page】（空白页），将此页面命名为“a变化”．

（2）单击【Graph】菜单中的【Define Coordinate System】（定义坐标系），屏幕上出现一个平面直角坐标系，用【画线段】工具画一条过原点和（15，0）点的线段，用【选择】工具选择线段，单击【Construct】（构造）菜单中的【Point On Function Plot】（对象上的点），在线段上出现一个点，点的标签为A，用【选择】工具单击【Measure】（度量）菜单的【Abscissa】（横坐标），屏幕上出现xA=3.36,用【文本】工具将xA改为a．

（3）单击【Graph】菜单中的【Plot New Function】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击a，^，x，其中^，x在函数编辑器上，a在屏幕上，单击【OK】（确定）后立即出现函数yax的图象，把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）

（4）单击【Graph】菜单中的【Plot New Function】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击ln，（，x，），/，ln，（，

a，），ln在函数编辑器的函数选择菜单上，a在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击【OK】（确定）立即出现函数ylogax的图象．把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）

（5）用【选择】工具选中点A，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）

中的【Animation】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），用【文本】工具将按钮名称【Animation Point】改为【改变底数a】，选中线段端点A，单击【Display】（显示）中的【Hide Objects】（隐藏），隐藏线段及点A．单击按钮，两个函

数图象随a的变动而跟着变动．再画直线y＝x，让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．

（6）任取f（x）= ax图象上的一个点P，度量出P的横坐标和纵坐标xB,yB，再依次点击yB,xB，单击【Graph】菜单中的【Plot Points】（绘制点），即绘制点P关于y＝x的对称点

P，单击【Display】菜单中的【Trace】（追踪点），可以发现点P/的轨迹与yax的反函数ylogax的图象重合．画出过点P与点P/的线段，单击【Construct】（构造）菜单中的【Midpoint】（线段的中点），用【文本】工具将将中点的标签记为点M，单击【Construct】（构造）菜单中的【Locus】（轨迹），当P运动时，发现M在直线yx上运动，如（图4）所示．

图4 课件使用说明：

1．单击【运动点P】，让学生观察，点P与点P的坐标的变化情况，从而进一步验证了上述结论对于（a>0，a1）的情况下仍然成立．

2．上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按钮（具体见课件）．