小结优秀说课稿

高中数学

集合与简易逻辑

基础知识梳理

一、集合

人们常常把林林总总的客观事物按其某一方面的特性进行适当划分，再分门别类的进行研究．所谓的“物以类聚”在某种程度上反映出了人类普遍的思维模式，在各个领域中被广泛使用的集合的概念正是这一原则最基本的体现．

1．集合的概念

集合又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元或元素．

我们通常用大写字母A,B,S,T,表示集合，而用小写字母如a,b,x,y表示集合的元素．若集合S由n个元素组成，则称集合S为有限集（这里n是确定的非负整数）．不是有限集的集合称为无限集．特别的，不含任何元素的集合叫做空集，记为．

常见的数集符号：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R，正整数集N或N，复数集C．

2．元素与集合之间的关系

元素与集合是个别与整体的关系．若x是集合S的元素，则称x属于S，记为xS；若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为yS或yS．集合中元素具有确定性、互异性和无序性．

3．集合的表示法

表示集合的方式通常有三种，分别是列举法、描述法和图示法．

列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式．例如，由a,b,c,d四个字母组成的集合A可用Aa,b,c,d表示，如此等等．表示有限集合常用列举法．

设集合S是具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：Sx|x具有性质P，此即描述法．表示无限集合常用描述法．

图示法常用来描述抽象集合，例如Venn图法．

*

4．集合之间的关系

（1）包含关系：

子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记为AB或BA．显然，AA，

A．

（2）相等关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，且集合B中的任意一个元素都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记为AB．

对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与集合B相等，记为AB．

（3）真子集关系：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记为AÜB．

（4）不包含关系：用“Ú”表示．

5．集合运算

（1）并集

①

定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记为AB，ABx|xA或xB．

②

性质：AAA；ABBA（交换律）；AA；AAB；

BAB；若AB，则ABB．

（2）交集

①

定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的交集，记为AB，ABx|xA且xB．

②

性质：AAA；ABBA（交换律）；A；ABA；

ABB；若AB，则ABA．

（3）补集

①

定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记为U．设AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合U中的补集，记为

ð．

UA，即

ðUAx|xU且xA②

性质：A

ðUAU；A

ðUA；

痧UU

AA；ðUU；ðUU．

二、简易逻辑

1．命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．

2．逻辑联结词

（1）或：两个简单命题至少一个成立．

（2）且：两个简单命题都成立．

（3）非：对一个命题的否定．

3．四种命题及相互关系：

（1）四种命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或假设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么称这两个命题互为逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫原命题的逆命题．

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，称这样的两个命题互为否命题，若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫原命题的否命题．

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，称这样的两个命题互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫原命题的逆否命题．

（2）四种命题的关系图如下：

若p，则q

原命题

互 互

否

互

否命题

互 逆

逆否命题

为 逆

否

为

逆

否

否

互

互 逆

逆命题

若q，则p

若p，则q

若q，则p

4．充分条件、必要条件、充要条件

（1）若pq成立，但pq不成立，则p是q的充分不必要条件；

（2）若pq不成立，但pq成立，则p是q的必要不充分条件；

（3）若pq成立，且pq成立，则p是q的充要条件；

（4）若pq不成立，且pq不成立，则p是q的既不充分也不必要条件；

5．简单命题与复合命题

（1）不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．

（2）复合命题真值表

p

真

真

假

假

q

真

假

真

假

pq

真

真

真

假

pq

真

假

假

假

p

假

假

真

真

6．全称命题与特称命题

（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“”表示．

（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”、等词，用符号“”表示．

（3）全称命题：含有全称量词的命题．“对xM，有px成立”，简记为xM,px．

（4）特称命题：含有存在量词的命题．“对xM，有px成立”，简记为xM,px．

7．命题的否定

（1）含有一个量词的命题的否定．

命题

命题的否定

xM,px

x0M,px0

（2）复合命题的否定

x0M,px0

xM,px

p或q的否定是非p且非q；p且q的否定是非p或非q．

（3）否命题与命题的否定

①否命题：同时否定原命题的条件和结论所得的命题．

②命题的否定：直接对命题的否定，即否定原命题的结论（否定谓语）．

例如：

原命题：全等三角形是相似三角形．

否命题：不全等的两个三角形不是相似三角形．

命题的否定：全等三角形不是相似三角形．

例题选讲

例1 设集合A1,1,3,Ba2,a24,AB3，则实数a的值为_____．

解析：因为AB3，所以a23或a243．当a243时，a21在实数集内无意义；当a23，即a1时，B3,5，此时AB3，故a1．

例2 设全集UR，若集合Px|x4，Qx|x24，则（

）

A.QÜP

B．PÜQ

C．PÜðUQ

D．QÜðUP

解析：Qx|x24x|2x2，QÜP．

答案：A 例3 已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，

若ABA，求实数m的取值范围．

解析：

ABA，BA．又Ax|x23x100x|2x5，

（1）若B，则m12m1，即m2，此时总有A（2）若B，则m12m1，即m2．

由BA，得BA，故m2．

2m1，解得3m3，2m3．

2m15综合（1）（2）可知，m的取范围是,3．

例4 已知p：若aA，则bB，那么命题p是（ ）

A．若aA，则bB

B．若aA，则bB

C．若aA，则bB D．若bB，则aA

解析：“若p则q”命题的否定是条件不变，只否定结论，故原命题的否定为“若aA，则bB”．

答案：A 例5 已知p：方程x2mx10有两个不等的负实根；命题q：方程4x24m2x10无实根，若pq为真，pq为假，求m的取值范围．

解析：

由p：方程x2mx10有两个不等的负实根，得m2；

由q:方程4x4m2x10无实根，得1m3．

2pq为真，pq为假，p、q一真一假．

当p真q假时，m3；当p假q真时，1m2．

m的取值范围是1,23,．

练习题

一、单项选择题

1．下列说法正确的是（

）

A．任一集合必有真子集

B．任一集合必有两个子集

C．若AD．若AB，则A、B之中至少有一个为空集

BB，则BA

2．设p,q为两个简单命题，则“pq”为假是“pq”为假的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．集合xN|x32的另一种表示法是（

）

A．0，1，2，3，4

B．1，2，3，4

C．0，1，2，3，4，5

D．1，2，3，4，5

4．设集合Ux，y|xR，yR，Ax，y|2xym0，

Bx，y|xyn0那么点P2,3AðB的充要条件是（

）

UA．m1，n5

B．m1，n5

C．m1，n5

D．m1，n5

5．若非空集合Ax2a1x3a5，Bx3x22，则能使AB成立的所有a的集合是（

）

A．a1a9

B．a6a9



C．aa9

D．

6．已知p：x10，q：4x2xm0，若p是q的充分条件，则实数m的取x值范围是（

）

A．m22

B．m22

C．m2

D．m6

二、填空题

7．命题“对任何xR，x2x43”的否定是____________________________；

命题“存在x0R，2x00”的否定是_________________________________________．28．

已知集合Aa,b,2,B2,b,2a，且AB，则a______________________．9．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有___________人．

三、解答题

10．已知函数fxx1x2的定义域集合是A，函数gxlgx22a1xa2a的定义域集合是B：

（1）求集合A、B；

（2）若ABB，求实数a的取值范围．



练习题参考答案

一、单项选择题

1．D

2．B

3．B

4．

A

a6，5．C

解析：A时，3a52a1，解得a6；A时，2a13，

3a522．6．D

二、填空题

7．x0R，x02x043；xR，2x0

a2aa0a0，ab218．0或

解析：当时，解得不合题意舍去，或当

24b1；b0b2abb1a，a04时，解得不合题意舍去，或

1b0b．29．8 三、解答题

10．解：（1）A{ x|x1或x2}；B{x|xa或xa1}．

a1，ABBBA（2）由得，因此即a1且a1，所以实数a的取值a12．范围是．