3.4.1 函数与方程教学设计

课题名称：§2.5.1函

数

的

零

点

教材版本：苏教版.必修1

设计人：王 玲

一、教学背景：

我授课的班级是高一(11)班）学生基础比较好，探究能力也比较强，因此在教学过程中我适当拓宽学生知识面，以便学生有更好的发挥空间. 1、学情分析: 认知分析：

通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力.这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.这些形成了学生思维的“最近发展区”. 能力分析：学生虽然对二次函数的图像和性质有所了解，但利用函数的观点看问题能力应该不会太强，所以教学过程中应该给予学生适当的点拨，从而突出教学重点和难点. 2、教学条件：

在教室里有完善的多媒体平台，可以借助课件辅助教学，还可以自主的利用投影展示学生在稿纸上写的情况. 二、三维目标：

知识与技能：

1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系. 2.掌握函数在某区间上存在零点的判定方法. 过程与方法：

1.采取师生探究、交流式教学，在老师不断搭建“脚手架”的引导过程中，以二次函数图像与相应方程的关系为突破口，最终认识函数零点的概念.从而渗透由特殊到一般的研究思想（认知规律）. 2.通过观察总结，学生总结概括函数图像与x轴的交点、方程有无实数根这三者之间关系，从而渗透函数与方程思想. 3.探索在某区间上存在零点的判定方法。并不断地辨析定理，对定理有比较深刻的认识.从而培养学生数形结合的数学思想. 情感、态度、价值观：

1.在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

2.通过本节课的学习，培养学生认真、严谨、合作的学习品质. 三、教学重、难点：

1.发现和认识函数零点与方程根之间的关系. 2.探究和掌握在某区间上存在零点的判定方法. 四、教学过程：

教学环节

问题与情境

师

生

交

流

设计意图

1

创

设

情

境

问题1：方程1234567x21234569x10有实数根吗？

思考: 如何对方程函数yf(x)0师：判断一元二次方程是否有实数根，首先就会想到--- 全体学生：判别式

师：请判断

生1:0数字大算的比较麻烦（提问认真计算的同学）．

师：从“数”的角度算的较烦，有同学从另外的角度去考虑的吗？

生2: 从“形”的角度f(x)1234567x21234569x1的实数根与f(x)图象的关系作进一步阐述？

是一个开口向上的抛物线，看图像于x轴的情况（提问不忙于算，却在思考的同学）．

师：图像怎么画？

生2：不用具体画，开口向上的抛物线，f（1）＝－10。

师：很好! 你是怎么想到的呢？

生2：初中学过二次函数呀

（学生们投去了赞赏的目光）．

师：(展出思考)我们从这一节开始学习2．5函数与方程．

师：我们以熟悉的二次方程、相应的函数和图像入手来研究，请认真填写下表．

全体学生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括并进行交流．

师：用几何画板展示如下函数的图象：y＝3x－6，y＝2x－2，y＝lg(x－1) ．yx3从学生熟悉的二次方程出发，但系数又比较大，如果不去具体算，还能怎么解决？激起他们的研究热情，调动学生参与课堂活动的积极性，使学生思维自然进入愤悱境界．

引

入

新

课

探究：认真填写下表

ax2+bx+c=0 Δ＞0 (a>0) 方程的根

函数的图像（简图）

图象与x轴的交点坐标

Δ＝0 Δ＜0

x1比较函数图

问题2：一般的函数与方程之间也有类似的关系吗？为什么？

象与x轴的交点和相应方程的根的关系．

共同得出：

（1）方程不同实数根的个数与函数图像与x轴的交点个数相等；

（2）方程的实数根（值）与函数图像与x轴的交点的横坐标（值）相等．

利用表格帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法．

直观的将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．

2

教学环节

建

构

函

数

零

点

概

念

渗

透

数

学

思

想

问题与情境

1、函数零点概念：

一般的，把使函数yf(x)

师

生

交

流

师：本节学习2．5．1函数的零点（展出概念）函数的零点与方程的根有什么共同点和区别吗？

生3：函数零点就是方程f(x)＝0的实根．它们没什么区别．

师：零点是点吗？

生3：零点应该是点.

生4：课题是函数的零点，所以零点是针对函数的，方程才有根。根据定义零点是实数，不是点．

师：函数的零点和方程的根是从数和形两方面来刻画的，我们就可用函数的观点看待方程，方程fx0

设计意图

理解函数零点的意义.让学生体会到由具体到抽象的数学思想，感悟与体会基中蕴含着化归与转换、函数与方程思想、数形结合的思想.并根据简单具体的例子寻找求零点的求法：代数法；

的值为0的实yf(x)数x称为函数的零点．

函数零点的意义：

小试牛刀：

1.函数

y点是___ 2.函数

yx2log2x的零2x3的根即函数y0fx的零点，的零点个数是：____

也可以把解方程fxyf的问题转化为函数x图像与x轴的交点问题．

（板书）

师：判断函数有没有零点及零点个数问题可以转化为--- 生5：判断方程有没有实数根及根的个数问题, 也可以转化为讨论对应的函数图象与x轴的交点问题；

师：体现了转化的思想．

生6：1.1；2.2个

师：请说一下你求函数零点的步骤是：

生6：(1)令f(x)=0；(2)解方程f(x)=0； (3)写出零点．

师

生

交

流

设计意图

教学问题与情境

环节

3

设

疑

推

进

探

究

零

点

存

在

定

理

问题3：函数

师：这种解法为“代数法”.问题3怎么解决？

铺设台阶，引出生6：解不出来呀.用图形吧，但不会画呀. 本节课的主要f(x)lnx2x6的师：我们先来探究已知图像的零点情况．

问题.由学生思零点情况呢？

考，代数法不能生6：得出f(a)f(b)＜0，则函数在区间

解决，从而产生

认知冲突，激发(a,b)上有零点．

探究：观察下边函数学生的求知欲. 师：这个新出炉的结论需要我们锤炼和辨析才

yf(x)

能完善.你们能提出哪些需要我们进一步思考

的问题呢？生：沉默

让学生自己发的图像(1)f(a)f(b)

现规律,给学生师：若函数f(x)在区间a,b上满足____0（＜或＞）,在区间“数学创造”的体验.探究的则函数在区间(a,b)上一定(a,b)上___（有或无）零f(a)f(b)＜0，过程让学生再点。

有零点吗？

次经历特殊到(学生先自主探究再小组合作交流，鼓励学生一般的思想. （2）在区间(b,c)和画几个学过的函数图像验证．)

1

(c,d)上呢？

生7：fx，有f1f(1)0，但在

x你可得出什么结论？

1,1上就没零点.师：提出问题4

生7：还需要加图像不间断.

师：请观察下图.

由（1）、（2）你能得出什么结论？

问题4：在怎样的条件下，函数yfy

a

b

生7：嗷，还需要在区间a,b上图像不间断. 师：（展出定理）函数零点存在性定理有哪几个关键点？

生7：1、区间a,b上图像不间断；2、f(a)f(b)x在区间a,b

上一定有零点？

2、零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.

教学环节

＜0

设计意图

问题与情境

师

生

交

流

4

应

用

辨

析

定

理

拓

展

知

识

例1、求证：函数师生：共同写出规范的步骤。

让学生会运用生8：问题5错误，可能有多个，比如3个，定理. 32f(x)xx1在区再折过来5个

间2,1上存在零点？

问题5：已知函数y=f (x)

在区间[a,b]上不间断且通过问题4--7，f

(a) ·f(b) < 0 则f(x)加深学生对函

在区间(a,b)内有且仅有师：是的，问题5是错的。那你刚才说的1,3,5数零点存在性一个零点吗？请举例说是奇数个零点，有没有偶数个零点呢？

定理的理解与明. 生8：可能不会是偶数个吧，端点值要异号。

认识.引导学生问题6：已知函数y=f (x)师：有没有不同观点？

准确理解函数在区间[a,b]上不间断，生9：把刚才图像往上移，使弯曲点在x轴上，零点存在性定且f (a) ·f(b) >0 就有两个零点. 理，通过特殊图则f(x)在区间(a,b)内有师：很好，说明满足两个条件时存在零点但不象来帮助学生没有零点？

一定唯一.问题6、7呢？（思考一会）

理解,将抽象的问题7若函数y=f(x)在区生10：都错误，比如上图：问题6零点可能问题转化为直间(a, b)内有零点，一定观形象的图形，没有也可能有，问题7也可f(a)f(b)0

有f

(a) ·f(b) < 0 吗？ 从而突出本节 师：你的思维真好，其他同学懂了吗？（同学的重点，突破难

们点头）。通过一系列的研究，我们知道零点点.

存在定理要满足两个条件，缺一不可，得出有

零点，不一定唯一，本定理还不可逆.那我们

回头继续研究问题3吧，有零点吗？

生：利用定理，区间找---（有点困难）

师：定义域(0,)，取值试试（可以利用计

算器）。生11：f(1)0,f(3)0，有零点。

这里没有用几继续探究：函数

师：我看你没用计算器，你怎么得到的？

何画板画图，是生11：ln10，想到x取1，2360

因为想让学生f(x)lnx2x6的想到x取3. 先用试值法。

零点情况. 师：好，那有几个零点呢？你用什么方法判断

(1)

有零点吗？

零点个数？

(2)

有几个呢？

生11：因为lnx,2x6在定义域上都是单调问题8：函数y=f(x)在区

间[a,b]上是单调函数且的，所以只有一个。（问题8没来得及展示，f(a)·f(b)<0,问该函数学生已经得出结果啦。）

在区间（a，b）内有几个师：用几何画板画出图像(给以直观感知). 零点？

y

y

a

O

b

x

O

a

b

x

5

教学环节

演

练

反

馈

知

识

内

化

问题与情境

必做题：1.函数fxlnx2x

师

生

交

流

必做题学生课堂自己独立完成，老师教室巡查.反馈结果.

设计意图

巩固本节内容，同时为下节作好铺垫，体现练习的巩固性和发展性原则.

注意分层教学，为学有余力的学生提供更多更大的发展空间。使各层次的学生在各自的最近发展区均有所发展；使各层次的学生均能体验学习的快乐.

思考题为下一节“二分法”的学习做准备. 培养学生自觉独立学习习惯，提升在学习中反思小结的能力，进一步优化学生的认知结构.

复习巩固的目的

的零点所在的大致区间为

（

）

A

（1，2）

B （2，3）

C 1,1e

和（3，4）

D e,

yx32.证明函数3x1在区间（0,1）上有零点。

3.函数f(x)ex4x有零点吗？如果有，有几个零点？

选做题：已知一元二次方程x2mx2m10的一个根在区间(1,0)

上，另一个根在区间(0,1)上，求m的取值范围？

思考题：函的零点在区间内有零点，如何求出这个零点？

归

纳

小

结

布

置

作

业

6 请同学总结：

师：请你谈谈本节课学习了什么？生12：零点的概念、零点存在性定理

师：你还收获了什么？

生12：数形结合思想、转化的思想。

师：总结的很好. 师生共同总结得出板书内容.

P81 T1 P94 T27

五、板书设计：

一、

二、

零点定义

三个等价关系

x0是函数yf(x)的零点

（x0,0)是函数的图像与yf(x)x0是方程的实数跟f(x)0

x轴的交点（形） (数) 三、零点存在定理

四、求函数零点的方法：代数法 几何法

思 想 方 法：一般与特殊、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想

例题：

课后反思：

设计的几点说明：

1、这节课在设计时我把它分为三个环节，一是“函数的零点”的概念形成；二是探究“函数零点的存在性”的判断方法；三是新知识的初步应用。整节课通过问题驱动的教学方式，启发学生思维，在思考中理解新知识. 2、从学生已有的知识出发，通过已经学习过二次函数的图象与一元二次方程的关系引入函数零点的概念.实质上是把方程引入到函数图像的体系之中的。在用教材而不是教教材的理念下，我是从一个系数比较大的一元二次方程是否有实数根引入，目的是让学生感受引入“形“的自然。这也正是本节课所学概念的“生长点” . 3、这节课的重心是“函数零点存在定理”的深入理解与应用。通过层层深入的问题驱动，加深学生对函数零点存在性定理的理解与认识.引导学生准确理解函数零点存在性定理，通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，从而突出本节的重点，突破难点. 优点：问题设计使课堂具有节奏感、有针对性，具有驱动性，能促使学生主动思维，思考问题的本质.学生们认真思考，积极参与，热情很高.这样的教学可以达到促进学生发展的目的，特别是发展学生的思维能力！

不足之处：设计问题时不光要考虑如何设置问题和设置问题的目的，还要考

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虑怎么回答.学生不会回答时老师怎么去提示？这时就要适时地使用海问、圈问和点问的方法.比如：在问题1时，除用△外，本想用“海问”的方式“有没有其它解决办法？”但考虑到不太了解学生情况，又担心冷场，所以改为保险的“圈问”方式“从‘数'的角度算的较烦，有从另外的角度去考虑的吗？”从学生轻松的回答中，觉得自己在师生对话中，不急于限制学生的思维，以便于了解学生的想法，进一步展开教学.对生2的回答，我企图想挖掘他背后的思维过程. “想到”是对“知道”的挖掘.应该启发他说出思考的源头.有效的提问应使学生感到口欲言而不能，心求通而未果的状态.这也是需要我在今后教学中要多加揣摩的地方.

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