实习作业公开课教案

函数的最大（小）值

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.

（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.

2．过程与方法

借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.

3．情感、态度与价值观

在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.

（二）教学重点与难点

重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.

（三）过程与方法

合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.

（四）教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

21．函数f (x) = x. 在( –

∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时，f (x)≥f师生合作回顾增函数、减函数的定义及图应用单 (0).

象特征；

调性的定义从而x都有f (x) ≥f

师生合作定性分析函数f (x)的图象特和函数图象提出问题

(0).

征，通过图象观察，明确函数图象在整个感知函数的因此x = 0时，f (0)是函数值定义域上有最低点和最高点，从而认识到最小值和最中的最小值.

最低点和最高点的函数值是函数的最小值大值. 22．函数f (x) = –x同理可知x和最大值. 都有f (x)≤f (0). 即x

= 0时，

f (0)是函数值中的最大值. 函数最大值概念：

一般地，设函数y = f (x)的定义师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大域为I. 如果存在实数M满足：

值. 即

由实例（1）对于任意x都有f (x) ≤M.f (x0)≤f (x)意味着什么？

共性抽象获形成概念

生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：

得最大值概（2）存在x0，使得f (x0) = ①x0定义域；

念. M.

②f (x0值域；

那么，称M是函数y = f (x) 的最③f (x0)是整个定义域上函数值最大的. 大值. 函数最小值概念.

一般地：设函数y = f (x)的定义师：怎样理解最大值.

域为I，如果存在实数M，满足：

生：最大值是特别的函数值，具备存在（1）对于任意x，都有f (x)由最大值定性、确定性.

形成概念

≥M.

义类比最小师：函数最小值怎样定义？

（2）存在x0，使得f (x0) =M.值定义. 师生合作，学生口述，老师评析并板

书定义. 那么，称M是函数y = f (x)的最小值. 师生合作讨论例1、例2的解法思自学与指导应用举例

例1 “菊花”烟花是最壮观

g (t) =

例2分析：由函数y =(x[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则

f (x1) –

f (x2) =

=

.

由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0，

于是 f (x1) –

f (x2)＞0，

即 f (x1)＞f (x2). =所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4. 训练题2答案：最小值. 训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决. 解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：

2y = b·+ ax·.

∴y = s (a x +) . （其中x(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y

取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性. 设x1，x2，+∞)，且x1＜x2，则

f (x1) –

f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)] = s[a (x1–

x2) +] =

=

∵x1，x2＞0，且x1＜x2 ∴x1x2＞0，a (x1 –

x2)＜0 ∴当x1，x2，)时，x1，x2＜，x1x2 –2)，

＜0，∴f (x1)＞f (x当x1，x2，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜f (x2). 综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y

min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以

x =km / h的速度行驶. 培养学生的概括能力

能力培养

1．最值的概念

归纳总结

2．应用图象和单调性求最值的一师生交流合作总结、归纳. 般步骤. 课后作业

1.3第二课时 习案

学生独立完成

备选例题

例1 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).

（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；

（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围. 分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化出a的范围. (x，+∞)恒成立，等价于x + 2x + a＞0 恒成立，进而解2解：（1）当a =时，f (x) = x ++2 因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，

所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =. （2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x + 2x + a＞0恒成立. 22设y = x +2x+a，∵(x + 1) + a

–1在[1，+∞)上递增. ∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，

∴a＞–3. 2

解法二：f (x) = x ++2 x[1，+∞).

当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a. 于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3. 例2 已知函数f (x)对任意x，yR，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =. （1）求证f (x)是R上的减函数；

（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值. 分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用. 证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = –

y可得： f (–x) = –

f (x)，

在R上任取x1＞x2，则f (x1) –

f (x2) = f (x1) + f (–

x2) = f (x1–x2). ∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) –

f (x2)＞0. 由定义可知f (x)在R上为单调递减函数. （2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数，∴f (–3)最大，f (3)最小.

f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f

(1) =3×( =2. 即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2. ) = –2. ∴f (–3) = –

f (3)