4.4 对数概念及其运算教案设计范例

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4.4.1对数概念及其运算

（一）教学目标1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系

.2.

过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质

.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质

.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.（四）教学过程教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

提出1．提出问题老师提出问题，x

由实际问题引入，激发学生的学习积极问题

（P72思考题）y131.01中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该学生思考回答.启发学生从指数运算的需

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如何解决？即：求中，提出本节的研究对象——对数，

性. 1820301.01x,1.01x,1.01x,131313在个式子中，x分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.

概念合作探究：若1.01x=18，则x称作是以13合作探究让学生经形成

师：适时归纳总结，引出历从“特殊一181.01为底的的对数.你能否据此给出一个一13对数的定义并板书.一般”，培养般性的结论？

学生“合情推一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那理”能力，有么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，利于培养学生其中a叫做对数的底数，N叫做真数.的创造能力．

举例：如：4216,则2log416，读作2是以4为底，16的对数.42，则为底2的对数.

概念1211log42，读作是以4221. 对数式与指数式的互化掌握指数式与对数式的互通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.

深化

在对数的概念中，要注意：化、而且要明确对数运算是指（1）底数的限制a＞0，且a≠1（2）axNlogaNx指数式对数式数运算的逆运算. 幂底数←a→对数底数指

数←x→对数幂

←N→真数

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说明：对数式logaN可看作一记号，表示底为a（a＞0，且a≠1），幂为N的指数工表示方程aN（a＞0，且a≠1）的解.

也可以看作一种运算，即已知底为a（a＞0，且a≠1）幂为N，求幂指数的运算.

因此，对数式logaN又可看幂运算的逆运算.2. 对数的性质：x提问：因为a＞0，a≠1时，

axNxlogaN

则

由１、a0=1

２、a1=a

如何转化为对数式

②负数和零有没有对数？

③根据对数的定义，alogaN=？

（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）

由以上的问题得到

①

a01,a1a

（a＞0，且a≠1）

②

∵a＞0，且a≠1对任意的力，log10N常记为lgN.

恒等式：a3. 两类对数

①

以10为底的对数称为常用对数，logaN=N log10N常记为lgN.

②

以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN.

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以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002.

应用

举例

例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）54=625；

（2）26=－例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色. （生口答，师板书）

解：（1）log5625=4；

（2）log21=－6；

64（3）log15.73=m；

3通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提高运算能力．

1；

641（3）（）m=5.73；

3（4）log116=－4；

2（5）lg0.01=－2；

（6）ln10=2.303.

例2：求下列各式中x的值

（1）log64x（4）（1－4）=16；

2－（5）102=0.01；

（6）e2.303=10.

例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解：（1）

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3（2）logx86

（3）lg100x

（4）lnex

4 2x(64)423()323(4)

1

1632342（2）x8,

6所以(x)(8)

(2)22

1361216616

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课本P74练习第1，2，3，4题.

（3）10x100102,

于是x2

（4）由lne2x,

得xlne2,即e-xe2

所以x2

练习（生完成，师组织学生进行课堂评价）

解答：1.（1）log28=3；

（2）log232=5；

（3）log21=－1；

213（4）log27=－1. 32.（1）32=9；（2）53=125；（3）22=－11－；（4）34=. 8143.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；

（2）设x=log21，则16－2x=1=24，所以x=－4；

16（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；

（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=103，所以x=－3. －4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.

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归纳

总结

1.对数的定义及其记法；

2.对数式和指数式的关系；

3.自然对数和常用对数的概念.

先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．

巩固本节学习成果，形成知识体系. 课后

作业

作业：2.2 第一课时

习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力

备选例题

例1 将下列指数式与对数式进行互化. 1（1）()x64

4

（2）51215

（3）log1273

（4）logx646

3【分析】利用ax = Nx = logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式. 1【解析】（1）∵()x64，∴x =log164 4412（2）∵515，∴log5151

21（3）∵log1273，∴()327

33（4）∵logx64 = –6，∴x6 = 64. －【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab = Nb = logaN进行转换即可. 例2

求下列各式中的x. 2（1）log8x；

3

（2）logx273；

4（3）log2(log5x)0；

2【解析】（1）由log8x

3得x823(2)323= 2–2，即x1

. 4

6

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33（2）由logx27，得x42733，

4∴x433(3)3481. （3）由log2 (log5x) = 0得log5x = 20 = 1. ∴x = 5. 【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段. （2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x) = 0及对数性质loga1=0. 知log5x = 1，又log55 = 1. ∴x = 5.

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