阅读与思考 集合中元素的个数优质课教案内容

二项式定理

一、教学目标

1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；

2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申

变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。

3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极

思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。

二、教学重点与难点

1、重点：二项式定理及有关概念

2、难点：二项式定理的应用

三、教学资源

课本、复习资料、电脑、多媒体平台

四、教法与学法

1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其

引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能

力。

2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生

自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照

学习。学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发

现、主动发展。

五、教学过程

（一）教材复习

0n1n1.二项式定理 (ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

（1）展开式中共有n+1项

rnrr（2）展开式的通项公式：Tr1Cnab,它表示的是展开式的第r+1项

r（3）二项式系数：

C

n

(

r



0,1

,2,

,

n

)

2．二项式系数的性质

mnm（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn

Cnn2n（2）增减性与最大值： Cr(r0,1,2,,n)先增再减；当n是偶数时，中间一项C取

n得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn12n，Cn12取得最大值。

nrrCnx1（3）各二项式系数和：由(1x)n1Cnxxn，令x1，得

0122nCnCnCnrCnn

Cn（二）考点解析

考点一

求展开式中的特定项或特定项的系数

31n的展开式中，第6项为常数项. x－【例1】

已知在32x(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项. 解

(1)通项公式为

n－k3Tk＋1＝Cknx1kn－2k1k－kk－2x3＝Cn－2x3. n－2×5因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10. 3(2)令10－2k3＝2，得k＝2，

2故含x的项的系数是1C210－2245＝4. 10－2k3∈Z，(3)根据通项公式，由题意

0≤k≤10，k∈N，10－2k3令3＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－2r，

∵k∈N，∴r应为偶数. ∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，

∴第3项，第6项与第9项为有理项，

456345它们分别为4x2，－8，256x－2. 规律方法

(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 训练1 1.

(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________。

a2．若xx2的展开式中的常数项为60，则常数a＝________。

6考点二

二项式系数的和与各项的系数和问题

【例2】

在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解

设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. 01010(1)二项式系数的和为C10＋C110＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. 0109(3)奇数项的二项式系数和为C10＋C210＋…＋C10＝2，

399偶数项的二项式系数和为C110＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

1＋510∴奇数项系数和为2；

①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

1－510∴偶数项系数和为2. 1－510(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝2；

1＋510x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝2.

规律方法

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数f（1）＋f（－1）项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋2af（1）－f（－1）5＋…＝2. 【训练2】

例1.已知(12x)7a270a1xa2x...a7x，则

（1）a1a2a3...a7=_________ （2）a0a1a2a3...a7=__________ 引申：

（3）(a0a2a4a6)2(a1a3a25a7)=__________ （4）a0a1a2a7=__________ （三）本节课小结：

1.会用赋值法求二项展开式中的一些系数和问题;

2.学会利用二项展开式的通项解决一些与特定项有关的问题。

六、作业布置

见课时训练