习题2.2教案2

高一数学秋季精英班教材

第九讲

幂函数与零点

益思对话

知识要点：

y a1a1

a1、幂函数：形如yx的函数。

当a0时，在(0,)上是增函数；

恒过坐标原点和定点(1,1)。

当a0时，在(0,)上是减函数；

恒过定点(1,1)。

O 0a1a0x 2、对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点，函数yf(x)的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，也即方程f(x)0的根.

3、如果函数yf(x)在区间(a,b)上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这里c也就是方程f(x)0的根，以上结论称为勘根定理，它是判断任意函数yf(x)的零点是否存在的方法.

方法归纳：

1.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查

(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一

象限的图象下降，反之也成立．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 3．函数零点的求法：

①（代数法）求方程f(x)0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

4．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数yf(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有1

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高一数学秋季精英班教材 f(a)·f(b)0.若有,则函数yf(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 5．确定方程fxgx在区间a,b上根的个数的方法

(1)解方程法:当对应方程fxgx易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间a,b上再判断. (2)数形结合法:通过画函数yf(x)与ygx的图象,观察其在区间a,b上交点个数来判断.

益思练场

1、函数f(x)xy

12

的大致图像是( ) y

y

y

0

A x

0

B x

0

C x

0

D x

2、比较下列各组数的大小：

(a2)______a；

(5a)

x32322230.50.______5；

0.4

5_____0.233、函数f(x)ex2的零点所在的一个区间是（ ）

A．(2,1)

B．(1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)

4、方程a|x|x2(0a1)的解的个数为（

）

A．

0个

B．1个

C．2个

D．0个或1个

x5、若关于x的方程a3m2（a0且a1）有负根，求实数m的取值范围．

益思精析

【例1】已知幂函数yf(x)的图象过点(27,3)，试讨论其单调性．

2

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【变式1】幂函数f(x)(t3t1)x

【例2】请把相应的幂函数图象代号填入表格．

1（1）yx

（2）yx

（3）yx

（4）yx

73t2t25是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数的解析式

23212（5）yx

（6）yx

（7）yx134312

（8）yx

53

函数代号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

图象代号

【变式2】已知幂函数yx

(mZ)

与yx2m(mZ)的图象都与x,y轴都没有公共点，且yxm2(mZ)

的图象关于y轴对称，求m的值．

m6

【例3】函数f(x)()A．2

12x22mxm21的单调增区间与值域相同，则实数m的取值为(

)

C．1

D．1

B．2

【变式3】已知函数的值域是，则实数的取值范围是

(

)

A．

；

B．；

C．；

D．. 3

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高一数学秋季精英班教材 2【例4】已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3时，f(x)x2x

1，若函数2yf(x)a在区间3,4上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是

.

x22xa(x0)【变式4】已知函数f(x),且函数yf(x)x恰有3个不同的零点,则实数a的f(x1)(x0)取值范围是（

）

A. (0,)

B. [1,0)

C. [1,)

D. [2,)

【例5】已知x0是函数f(x)2x1的一个零点。若x1(1,x0)，x2(x0,)，则（ ）

1xA．f(x1)0，f(x2)0

B．f(x1)0，f(x2)0

C．f(x1)0，f(x2)0

D．f(x1)0，f(x2)0

【变式5】若abc，则函数fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间( ) A．a,b和b,c内

B．,a和a,b内

C．b,c和c,内

D．,a和c,

【例6】设f(x)3ax2bxc，若abc0,f(0)0，f(1)0，求证：

2（1）a0，且2

b1；（2）方程f(x)0在(0,1)内有两个零点．

a

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【变式6】已知二次函数f(x)x216xq3，

（1）若函数在区间1,1上存在零点,求实数q的取值范围; （2）是否存在常数t(t0),当xt,10时，f(x)的值域为区间D,且D的长度为12t。

22【例7】已知a0且a1，求使方程loga(xak)loga2(xa)有解时的k的取值范围。

【变式7】若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0对任意m(0，)恒成立，则实数x的值为

．

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