习题2.3教案公开课一等奖

幂 函 数

一、课程标准要求

1.了解幂函数的概念；

2.结合函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，了解它们的变化情况. 2312二、教材分析

教材内容是高中数学人教A版教材必修1课本§2.3幂函数. 幂函数作为基本初等函数之一，之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．从教材的整体编排来看，环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程，编者想通过幂函数的教学主要是使学生进一步较系统的掌握幂函数的图象性质和研究函数的一般方法，为今后学习三角函数等其他函数打下一个良好的基础．

教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数yx，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了yx,yx2,yx1三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数yx3，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.

12三、教学目标

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鉴于课程标准的要求以及上述对教材的分析，制定如下的教学目标：

1.知识与技能目标

了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题；

2.过程与方法目标

引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；

3.情感、态度与价值观目标

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望. 2312四、教学重难点：

重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律．

难点：幂函数的图象与性质的简单应用

重、难点突破措施：

1.以情感人，以理醒人

创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣. 2.数形结合

现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点. 五、设计理念与任务分析

本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维

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价值. 围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串”

的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。

首先，在教学过程中深入挖掘课本资源，通过从问题情境中抽象出具体函数yx,yx2,yx3,yx,yx1，引导学生总结出幂函数的概念，针对学生容易将幂函数和指数函数混淆的情况，在得到幂函数的概念之后，组织学生对这两类函数的解析式进行辨析。

其次，之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法，本节课放手让学生自己进行合作探究学习.但由于学生对抽象的幂函数及其图象缺乏感性的认识，因此对于幂函数的图象与性质的探讨，采用从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究常见的幂函数12yx,yx,yx,yx,yx1的图象和性质，然后通过观察图象总结幂函数的一些共性，之后使用几何画板软件动态演示幂函数的图象（主要是在第一象限，其他象限内的情况，可结合奇偶性得到）随幂指数连续变化的情况，让学生总结出幂函数随幂指数改变的变化规律，最后再通过例题应用得出的研究成果，让学生预测将要出现什么样的图象，现场电脑检测成果的有效性，让学生享受成功带来的乐趣。在这个过程中，让学生体验利用信息技术来探索函数图象及性质的优势。

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六、教学手段：

利用ppt、几何画板、DrawTools等多媒体手段辅助教学. 七、课 型：新授课

八、教学过程

1. 情境创设

问题1：请写出下列函数的解析式：

①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w千克，那么他需要付的钱数P（元）关于购买的蔬菜量w（千克）的函数解析式为_____________. ②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S关于a的函数解析式为

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_____________. ③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V关于a的函数解析式为_____________. ④如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a关于S的函数解析式为_____________. ⑤如果某人ts 内骑车行进了1 km，那么他骑车的速度v关于t的函数解析式为_____________. 函数的解析式分别是：Pw,Sa,Va,aS,vt1.

问题2：如果将上述函数解析式左侧的因变量改成y，右侧自变量改成x，请仔细观察得到的函数解析式，它们具有什么共同的结构特征？ 新得到的函数的解析式分别是：yx,yx,yx,yx,yx1.

共同的结构特征：

1.幂的形式且系数为1；2.幂的底数是自变量x；3.幂的指数是常数. 【设计意图】从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，同时，统一自变量与因变量之后，让学生更能直观感知幂函数的结构特征，锻炼学生的观察能力与概括能力. 2.概念引入

幂函数的定义：一般地，形如yx(R)的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数. 问题3：你能说出幂函数yx(R)与之前学过的指数函数23122312yax(a0,a1)有什么区别吗？

很明显，这两个函数的自变量的位置与常数的位置是颠倒过来的. 【设计意图】针对学生容易将幂函数和指数函数混淆的情况，组织学生对两类函数的解析式进行辨析，从而达到强化记忆的目的. 1随堂练习：若幂函数过点(2,)，求此幂函数的解析式. 411解析：设幂函数的解析式为yx(R)，将(2,)代入解析式得2，44解得2，因此所求幂函数的解析式为yx2.

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【设计意图】通过此题，让学生了解幂函数解析式的结构特征，了解待定系数法的使用. 3.新知探究

问题4：一般研究函数从哪些方面着手？类比之前研究指数函数、对数函数的方法你准备怎样研究幂函数？

一般研究函数从其定义域、值域、奇偶性与单调性等方面着手，一般借助函数的图象直观感知函数的性质. 【设计意图】引导学生回想之前研究指数函数与对数函数的过程，启发学生用类比思想进行研究幂函数的图象与性质. 动手操作：

按照从特殊到一般的原则，我们首先研究五个具有代表意义的幂函数.请在同一平面直角坐标系中作出下列函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象. 在作图之前请大家思考，如何画图更加准确快捷. 由于之前的学习中，已经知晓了yx,yx2,yx3,yx1函数的图象与性质（第一章集合与函数概念中通过信息技术应用认识了函数yx3），它们的图象已经呈现在学案中了.对于未知函数yx的图象我们采用描点法作图，作图之前，先确定该函数的定义域之后，而后描点作图. 122312x

yx

120 0 1 1 2 1.414 3 1.732 4 2

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【设计意图】首先为学生提供一种规范的作图思路和具体操作方法，其次将五个幂函数的图象放在同一个直角坐标系中，有利于总结幂函数的共性. 问题4：根据上述图象的特征，填写下面的表格

定义域

值域

奇偶性

单调性

yx

yx

R [0，+∞）

偶函数

（-∞，0）减

（0，+∞）增

2yx

R R 奇函数

3yx

[0，+∞）

[0，+∞）

非奇非偶

12yx1

R R 奇函数

R上增

x|x0

y|y0

奇函数

（-∞，0）减

（0，+∞）减

R上增

[0，+∞）增

【设计意图】由形到数，发现5个具体幂函数的性质，为探寻幂函数的共性做好铺垫. 从以上可以看出，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的图象和性质也存在

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着很大的差异，下面就请同学们通过观察图象来探寻幂函数的一些共性. 自主探究1：幂函数图像过定点及象限的情况

从图象中可以看出，

幂函数过定点(1,1)，不一定过(0,0)；

幂函数过第一象限，不过第四象限. 你能利用幂函数的解析式yx(aR)解释其中的原因吗？

11；

x0,yx0. 自主探究2：幂函数在区间(0,)上的单调性如何

从图象中可以看出，

0时，幂函数yx在(0,)上是增函数

0时，幂函数yx在(0,)上是减函数

0呢？另外，通过幂函数在区间(0,)上的单调性，你能判断幂函数在区间(,0)上的单调性吗？

0时，无单调性. 判断幂函数在区间(,0)上的单调性借助函数的奇偶性判断即可. 自主探究3：增函数在(0,)上的图象特征与指数的变化有何关系

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第一个角度：图象的高低与指数的关系

当x1时，xxxx；

当0x1时，xxxx. (与指数函数的单调性不谋而合) 第二个角度：图象的形状与指数的关系（借助几何画板动态演示）

3211232112

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当1时，幂函数yx的图象向下凸出；

当01时，幂函数yx的图象向上凸出. 自主探究4：减函数在(0,)的图象特征又如何呢？

从图象中可以看出，0时，幂函数yx在第一象限的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. 【设计意图】利用学生的自主探究完成幂函数图象与性质的梳理，一方面提高学生对教学的参与度，另一方面引导学生学会如何透过图象研究函数性质的方

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法. 4.例题精析

例1.已知幂函数f(x)(m1)xm2m2，请画出该函数的草图. 解：由幂函数的定义可知，m11，即m2.因此，f(x)x2.

要画一个函数的草图，必须研究函数的性质：

函数f(x)x2的定义域为{xx0}，值域是{yy0}，由于20，因此函数f(x)x2在(0,)上是减函数，在第一象限图象向上与y轴无限接近，2向右与x轴无限接近，又由于该函数是偶函数，因此图象关于y轴对称，所以草图如下：

（之后利用DrawTools软件进行作图检验草图的正确性）

【设计意图】本环节强化了学生活动，为了得到函数草图去研究函数的一般性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，得到函数图象的过程完全让学生完成，从而体现学生的主体地位，之后现场电脑检测研究成果的正确性，让学生享受成功带来的乐趣。

例2.比较下列各组数大小：

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(1)a1.3,b2;(2)a(2.1),b(1.9).解：又1.32，因此1.32，即ab；

(1)由于函数yx在(0,)上是增函数，131313

(2)由于函数yx在R上是增函数，

又2.11.9，因此(2.1)(1.9)，即ab. 1313拓展延伸：

232352525（）,b（），c（）的大小. （2010高考安徽卷文科第7题）比较a555【设计意图】使用构造函数法比较大小，其本质是利用函数的单调性，通过例2与拓展延伸使学生注意到两点：一是幂指数相同时构造成幂函数,底数相同时构造成指数函数；二是怎样判断指数函数与幂函数的单调性，对两个函数进行辨析. 5.课堂小结

请学生谈谈通过这节课的学习，今天的学习内容和数学思想方法有哪些？

学习内容：幂函数的概念，幂函数的图象及性质；

数学思想：数形结合，分类讨论；

数学方法：待定系数法，构造函数法. 【设计意图】通过让学生小结，使他们自己能很好的回顾知识点的内容和思想方法，培养他们的归纳与概括能力. 6.布置作业：

1(1)函数yxn在第一象限内的图象如右图所示，已知n取四个值2,，则相应于曲线

2C1,C2,C3,C4的n依次为(

) 1111A．－2，－，，2

B．2，，－，－2

22221111 C．－，－2,2， D．2，，－2，－

2222(2)（2016高考全国卷文科丙卷第7题）已知a2,b3，c25，则

A．bac

B．abc

C．bca

D．cab

432313

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(3)已知幂函数y(m2m1)xm2m3，当x(0,)时为减函数，则该幂函数的2解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？

7.板书设计：

课题：幂函数

一、定义

二、幂函数的共性

例1. 例2.

九、教学反思

本节课紧紧围绕教学目标，遵循直观式、启发式原则而展开．放手让学生去探究，教学过程中引导学生根据几个具体函数的共性特征归纳、总结出幂函数的定义，再对5个常见幂函数的图象与性质先进行初步探索，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出幂函数的共性，让学生充分体会系统研究函数的方法. 整节课教学材料的选择安排符合学生的认知规律，可以有效提高学生数学思维的参与度，帮助学生逐步学会思考，教学过程中充分引导学生利用数形结合，找出与旧知识的衔接点，并在对照、类比分析中找出规律．提高学生学习的积极性和自学能力．

通过反思，自己也意识到：首先，应该让学生充分体验数学知识的发生、发展、形成过程；其次，教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”.再次，有效的数学学习过程，不仅仅是单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生主动探究，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究，共同提高.

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